Least squares methods for elliptic systems. (English) Zbl 0609.35034
Das Hauptergebnis dieser Arbeit sind Abschätzungen von der Form
\[
\sum^{N}_{j=1}\| u_ j-u_{jn}\| \nu +t_ j\leq ch^{\mu - \nu}\sum^{N}_{j=1}\| u_ j\|_{\mu +t_ j}
\]
\(u_ 1,...,u_ N\) für die Lösung der Randwertaufgabe
\[
\sum^{N}_{j=1}L_{ij}(x,D)u_ j(x)=f_ i(x),\quad x\in \Omega,\quad 1\leq i\leq N,\quad \sum^{N}_{j=1}B_{kj}(x,D)u_ j(x)=g_ k(x),\quad x\in \Gamma,\quad 1\leq k\leq m,
\]
wo \(u_{jk}\in S_{kj}\). \(S_{kj}\) ist der Unterraum, wo man die Approximation sucht, \(s_ i\) sind die Gleichungsindizes und \(r_ k-\) die Randwertindizes. Man setzt Agmon-Douglis-Nirenberg Systeme und die a priori Abschätzung
\[
\sum^{N}_{j=1}\| u_ j\|_{\ell +t_ j}\leq C\sum^{N}_{j=1}\| f_ i\|_{\ell -s_ i}+C\sum^{N}_{k=1}| g_ k|_{\ell -p_ k-1/2}
\]
voraus. Außerdem ist ein wichtiges Erfordernis, daß die Räume \(S_{kj}\) optimale Approximationen sind.
Reviewer: C.Kalik
MSC:
35J55 | Systems of elliptic equations, boundary value problems (MSC2000) |
65M99 | Numerical methods for partial differential equations, initial value and time-dependent initial-boundary value problems |
65N99 | Numerical methods for partial differential equations, boundary value problems |
65N30 | Finite element, Rayleigh-Ritz and Galerkin methods for boundary value problems involving PDEs |