G\(=G^{(1)}\cup G^{(2)}\cup G\) is ein Gebiet im \({\mathbb{R}}^ m(x)\) (m\(\in {\mathbb{N}})\), das in zwei Gebiete \(G^{(1)},G^{(2)}\subset {\mathbb{R}}^ m\) zerfällt, die durch eine glatte (m-1)-dimensionale Fläche \(\sigma\) getrennt werden. Es gilt \({\bar \sigma}\cap \partial G=\emptyset\). In \(G^{(i)}\times (0,T)\) \((i=1,2)\) werden die Operatoren \({\mathcal L}^{(i)}\) mit \[ {\mathcal L}^{(i)}u=k^{(i)}(x,t)\mu_{tt}+\alpha^{(i)}(x,t)\mu_ t+{\mathcal A}^{(i)\quad}u \] untersucht. Hierbei sind die Operatoren \({\mathcal A}^{(i)}\) lineare elliptische Operatoren zweiter Ordnung in Divergenzform. An die Koeffizienten werden Glattheitsforderungen in \(\overline{G^{(i)}\times (0,T)}\) gestellt; sie können in \(G\times (0,T)\) Unstetigkeiten haben. Die Funktionen \(k^{(i)}\) sollen für (x,0), (x,T) (x\(\in G)\) nicht positiv sein; in \(G^{(i)}\times (0,T)\) dürfen die Funktionen \(k^{(i)}\) ihr Vorzeichen beliebig wechseln.
Es weden Koeffizientenbedingungen angegeben, unter denen eine Lösung in einem verallgemeinerten Sinn existiert für das folgende Randwertproblem: \[ {\mathcal L}^{(i)}u=f^{(i)}\quad in\quad G^{(i)}\times (0,T)\quad (i=1,2) \] \(u=0\) in \(D_ T=\}(x,T),x\in G\}\), \(u_ t=0\) auf den Teilen von \(D_ T\), auf denen \(k^{(i)}<0\) gilt, \(u=0\) auf \(\partial G\times (0,T)\). Hinzu kommen Übergangsbedingungen für \(u|_{G^{(i)}}\times (0,T)\) und die Konormalenableitungen hiervon auf \(\sigma\) \(\times (0,T)\). Es werden Bedingungen angegeben, die die Regularität der Lösungen zu beweisen gestatten. Es wird speziell der hyperbolisch-parabolische Fall diskutiert \((k^{(i)}\leq 0\) in \(\overline{G^{(i)}\times (0,T)})\). An einem Beispiel für \(m=1\) wird die Notwendigkeit einer der Koeffizientenbedingungen gezeigt.