Voici un article parmi les plus importants de la théorie des modèles des dernières années. Les AA. y montrent des théorèmes de structures extrémement forts pour les modèles d’une théorie \(\aleph_ 0\)-catégorique et \(\aleph_ 0\)-stable. Ils peuvent ainsi résoudre un certain nombre de problèmes, dont certains étaient vieux de près de vingt ans.
Morley, par exemple, à la fin de son article historique sur les théories \(\aleph_ 1\)-catégoriques avait conjecturé que celles-ci ne pouvaient être finiment axiomatisables; il avait aussi demandé si une théorie \(\aleph_ 0\)-catégorique avait toujours un rang fini. Très vite on a pensé que la première conjecture devait être fausse, comme l’a confirmé Peretytkin en 1980, mais qu’elle pouvait être vraie pour les théories totalement catégoriques, ou même pour les théories \(\aleph_ 0\)-catégoriques et \(\aleph_ 0\)- stables. Zilber a accompli entre 1977 et 1981 un travail considérable sur ce sujet, qui apparemment a été longtemps ignoré. En particulier il a démontré la conjecture sur les théories totalement catégoriques, et aussi des théorèmes de classification pour les ensembles fortement minimaux, dont certains ont été démontrés indépendant par les AA. de l’article dont nous faisons le compte rendu.
Le point de départ de cet article est la classification des ensembles \(\aleph_ 0\)-catégoriques et strictement minimaux (c.a.d. fortement minimaux et sans relation d’équivalence non triviale définissable). Le groupe d’automorphisme du modèle agit de façon bitransitive sur cet ensemble et on en déduit assez facilement qu’il est équivalent à une géométrie (dégénérée, ou affine ou projective sur un corps fini). Ceci fait toutefois appel aux théorèmes eux même extrémement difficiles de classification des groupes agissant bitransitivement sur un ensemble fini.
Il reste alors à exploiter ce fait pour étudier la structure des modèles d’une théorie \(\aleph_ 0\)-catégorique, \(\aleph_ 0\)- stable. Cela se fera au moyen de deux outils principaux:
(Coordinatization Theorem): Sie M est transitif, \(\aleph_ 0\)- catégorique, \(\aleph_ 0\)-stable de rang fini, on peut y interprèter un ensemble A, transitif, de rang 1 et tel que pour tout x de M il y a des éléments de A qui sont algébriques sur x.
(Fundamental Rank Inequality): Supposons M \(\aleph_ 0\)-catégorique et \(\aleph_ 0\)-stable de rang fini. Soit F une famille définissable d’ensembles définissables qui sont tous de même rang r et tels que l’intersection de deux quelconques d’entre eux est de rang strictement inférieur à r. Alors \(r+rang(F)\leq rang(M).\)
A partir de là, un certain nombre de problèmes peuvent être résolues: Une théorie \(\aleph_ 0\)-catégorique et \(\aleph_ 0\)- stable n’est pas finiment axiomatisable; elle a un rang et un odre fondamental fini; elle ne peut pas interpréter de pseudoplan infini.