Die meisten Bücher über lineare Algebra schneiden die zum Studium eines Linearoperators der endlichdimensionalen Vektorräume nötige Frage nach der Struktur der endlich erzeugbaren Moduln über einem Euklidischen oder einem ZPE Ring an. Zu verschiedenen Zwecken werden in vielen Büchern der kommutativen Algebra spezielle (freie, projektive, injektive) Moduln über kommutativen Ringen betrachtet. Die vorliegende Monographie, die sich auf eine breite Anzahl von etwa 650 Quellen stützt, ist gleichzeitig einer Einführung in die lineare Algebra über (hauptsächlich) kommutativen Ring und einer reichen Übersicht über die verschiedenen Ergebnisse in diesem Gebiet gewidmet. Das mit einem Vorwort (S. III-VI), Bibliographie (S. 505-539) und Index (S. 541- 544) versehene und in einer guten technischen Form gebotene Buch ist in folgende fünf Kapiteln aufgegliedert. I. Matrixtheorie über kommutative Ringe (S. 1-98); II. Freie Moduln (S. 97-152); III. Endomorphismenring eines projektiven Moduls (S. 153-249); IV. Projektive Moduln (S. 250-358); V. Theorie eines einzigen Endomorphismus (S. 359- 504).
Das erste Kapitel umfaßt: Theorie der Polynome über einem kommutativen Ring, Determinanten-Identitäten und -Ideale, Ähnlichkeit in der allgemeinen linearen Gruppe sowie in ihren normalen Untergruppen, Automorphismen und Generatoren, Lösung von Lineargleichungen und damit verbundene Begriffe von Matrizenrang. - Im zweiten Kapitel wird die Theorie der endlichdimensionalen freien Moduln über kommutativen Ringen dargestellt. Hier wird u.a. betrachtet: Der Fundamentalsatz der projektiven Geometrie, die projektive Ebene, die einleitende Theorie der projektiven Moduln und die Theorie der Äquivalenztransformation. - In Kapitel III beschreibt man den Endomorphismenring der endlich erzeugbaren freien und projektiven Moduln. Zuerst werden freie Moduln und ihre Endomorphismenringe sowie der Zusammenhang zwischen Modultheorie über Skalarring und über entsprechendem Matrizenring untersucht. Unter Benutzung der ”freien” Theorie als Motivierung wird die übliche Dualitätstheorie für endlich erzeugbare projektive Moduln entwickelt und dabei Generatoren, Projektivität und Moritasche Korrespondenz, dann Baersche Korrespondenz, Radikale und Automorphismenringe eines endlich erzeugbaren projektiven Moduls behandelt. Im Anhang zu diesem Kapitel werden invertierbare Teilmoduln der Matrizenringe und die Äquivalenztheorie dargestellt. - Kapitel IV ist der Theorie der Lokalisierungen, der endlich erzeugbaren Moduln der Fittingschen Ideale und der Strukturtheorie endlich erzeugbarer projektiver Moduln gewidmet. Durchgeführt wird der Beweis des Serreschen Satzes unter Benutzung des matrizentheoretischen Zugangs von Suslin und der Ergebnisse über stabil freie Moduln. - Das letzte Kapitel V umfaßt die Theorie eines einzigen Endomorphismus sowie der freien als auch der projektiven Moduln. Dieses Kapitel enthält eine Einführung in die K-Theorie der projektiven Moduln und ihrer Endomorphismenringe und schließt mit einem Satz von Bass über äußere und symmetrische Algebren sowie mit einer Betrachtung des Koszulschen Komplexes.
In jedem Kapitel sind viele Aufgaben vorhanden. Die meisten davon stellen aus verschiedenen Arbeiten ausgewählte Ergebnisse dar, die entweder zur Illustration der Theorie für spezielle Ringe oder zu nützlicher weiterer Information dienen. Das vielfältige Material wurde um gewisse Themen gruppiert. Die sonst klare und gute Darstellung konnte nicht immer, wie der Verf. selbst zugibt, ”sequens” erfolgen, so daß hier und da vorher nicht gebrachte Tatsachen verwendet wurden. Dieses empfehlenswerte Buch wird nicht nur von Spezialisten begrüßt werden, sondern kann auch einem breiteren Leserkreis interessant und von großem Nutzen sein.