L’anneau considéré \(A\) est commutatif et unitaire. Un idéal \(I\) de \(A\) est pur si l’on a \(J\cap I=JI\) pour tout idéal \(J\) de \(A\). Une étude algébrique des idéaux purs permet de compléter sur bien des points des résultats déjà connus ou d’en simplifier les démonstrations; citons par exemple: si \(I\) est un idéal pur de \(A\), le plus petit cardinal d’un ensemble de générateurs de \(I\) est égal au plus petit cardinal d’une famille de fermés de l’espace des idéaux minimaux de \(A\), dont la réunion est celle des idéaux premiers maximaux de \(A\) ne contenant pas \(I\). Viennent, ensuite, des conditions nécessaires et suffisantes pour qu’un idéal pur de A soit projectif. L’intérêt se porte, alors, sur le cas où tout idéal premier de \(A\) est contenu dans un seul idéal maximal et, par conséquent, sur l’anneau \(C(X)\) des fonctions réelles définies et continues sur un espace topologique \(X\). Ainsi, un idéal projectif \(I\) de \(C(X)\) est pur s’il vérifie \(I^ 2=I\) ou s’il ne s’annule en aucun point de \(X\); un idéal premier de \(C(X)\) est projectif si et seulement s’il est engendré par un idempotent. Tout idéal pur de \(C(X)\) est projectif si et seulement si \(X\) est compact et héréditairement paracompact. Les propriétés suivantes sont équivalentes: tout idéal de \(C(X)\) admettant un nombre fini de générateurs est projectif; tout idéal principal de \(C(X)\) est projectif.