Sur l’anneau canonique de certaines variétés de dimension 3. (French) Zbl 0539.14025
L’article traite du problème suivant: Soit \(V\) une variété lisse et projective de dimension \(d\) définie sur \({\mathbb{C}}\). Notons \(\omega_ v\) le faisceau des d-formes régulières sur \(V\) et \(K_ v\) le diviseur correspondant. Supposons que pour n assez grand, les sections globales de \(\omega_ v^{\otimes n}\) définissent une application birationnelle sur son image. On se demande alors si l’anneau gradué \(A=\oplus_{n\geq 0}H^ 0(V,\omega_ v^{\otimes n})\) est de type fini sur \({\mathbb{C}}\). Proj(A) fournirait alors un modèle canonique de \(V\). - La réponse est oui pour \(d\leq 2\). Pour \(d=3\), on résout affirmativement le problème lorsque \(K_ v\) admet une décomposition dans \(NS_{{\mathbb{Q}}}(V)\) vérifiant certaines propriétés. Ces propriétés sont équivalentes à la condition suivante: la variété V domine un modèle birationnel \(X\) de \(V\) vérifiant: (i) \(X\) est \({\mathbb{Q}}\)-factoriel [au sens de M. Reid, Journéesde géométrie algébrique, Angers 1979, 273-310 (1980; Zbl 0451.14014)] et n’a que des singularités canoniques [au sens de M. Reid (ibid.)]. (ii) Le \({\mathbb{Q}}\)-diviseur canonique \(K_ x\) de X est numériquement positif (i.e. pour toute courbe \(C\) sur \(X\), on a \(K_ x.C\geq 0\)).
L’A. a aussi rendu effective la méthode utilisée par l’A. [cf. ”Sur les variétés canoniques de dimension 3 d’indice positif” (à paraître)], et essayer de voir si \(K_ v\) admettait en général une telle décomposition [cf. ”Sur la décomposition de Zariski en dimension 3” (à paraître)]. - Les techniques employées utilisent d’une part le théorème d’annulation de Kawamata-Viehweg [Y. Kawamata, Math. Ann. 261, 43-46 (1982; Zbl 0476.14007) et E. Viehweg, J. Reine Angew. Math. 335, 1-8 (1982; Zbl 0485.32019)] et d’autre part, un théorème de non annulation généralisé depuis par V. V. Shokurov [”Non vanishing theorem”, Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. (à paraître)]. Signalons aussi l’article excellent de Y. Kawamata [Ann. Math., II. Ser. 119, 95-110 (1984; Zbl 0542.14007)]; il y développe une théorie analogue à celle de S. Mori [dans Algebraic threefolds, Proc. 2nd 1981 Sess. C.I.M.E., Varenna 1981, Lect. Notes Math. 947, 155-189 (1982; Zbl 0493.14020)], mais cette fois, pour certaines variétés éventuellement singulières. Finalement, grâce à la généralisation de V. V. Shokurov, le problème de finitude de l’anneau A est résolu pour les variétés vérifiant les assertions (i) et (ii).
L’A. a aussi rendu effective la méthode utilisée par l’A. [cf. ”Sur les variétés canoniques de dimension 3 d’indice positif” (à paraître)], et essayer de voir si \(K_ v\) admettait en général une telle décomposition [cf. ”Sur la décomposition de Zariski en dimension 3” (à paraître)]. - Les techniques employées utilisent d’une part le théorème d’annulation de Kawamata-Viehweg [Y. Kawamata, Math. Ann. 261, 43-46 (1982; Zbl 0476.14007) et E. Viehweg, J. Reine Angew. Math. 335, 1-8 (1982; Zbl 0485.32019)] et d’autre part, un théorème de non annulation généralisé depuis par V. V. Shokurov [”Non vanishing theorem”, Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. (à paraître)]. Signalons aussi l’article excellent de Y. Kawamata [Ann. Math., II. Ser. 119, 95-110 (1984; Zbl 0542.14007)]; il y développe une théorie analogue à celle de S. Mori [dans Algebraic threefolds, Proc. 2nd 1981 Sess. C.I.M.E., Varenna 1981, Lect. Notes Math. 947, 155-189 (1982; Zbl 0493.14020)], mais cette fois, pour certaines variétés éventuellement singulières. Finalement, grâce à la généralisation de V. V. Shokurov, le problème de finitude de l’anneau A est résolu pour les variétés vérifiant les assertions (i) et (ii).
MSC:
| 14J30 | \(3\)-folds |
| 14F25 | Classical real and complex (co)homology in algebraic geometry |
| 14J15 | Moduli, classification: analytic theory; relations with modular forms |
Citations:
Zbl 0488.14003; Zbl 0451.14014; Zbl 0476.14007; Zbl 0485.32019; Zbl 0493.14020; Zbl 0542.14007References:
| [1] | benveniste, X.: Sur la décomposition de Zariski en dimension 3. Note aux C.R.A.S. t 295, serie I, pp. 107-110 (1982) · Zbl 0524.14008 |
| [2] | Fujita, T.: Semi positive line bundles. A paraître |
| [3] | Hartshorne, R.: Algebraic Geometry. G.T.M. vol. 52. Berlin-Heidelberg-New York: Springer 1977 · Zbl 0367.14001 |
| [4] | Hironaka, H.: Resolution of an Algebraic variety over a field of characteristic zero. (I, II). Annals of Math.79, (no 1) 109-326 (1964) · Zbl 0122.38603 · doi:10.2307/1970486 |
| [5] | Kawamata, Y.: A generalisation of Kodaira Ramanujam’s vanishing Theorem. Math. Ann.261, 43-46 (1982) · doi:10.1007/BF01456407 |
| [6] | Mori, S.: Threefolds whose canonical bundle is not numerically effective. Lecture Notes in Math., vol. 947. Algebraic, threefolds, pp. 155-189. Berlin-Heidelberg-New York: Springer 1982 |
| [7] | Reid, M.: Canonical 3-folds. Journées de Geométrie Algébrique. Angers 1979, pp. 273-309. Sijthoff et Noordhoff 1980 |
| [8] | Reid, M.: Minimal models of canonical 3-folds. A paraître au Symposia in Math. Editeurs S. Iitaka et H. Morikawa · Zbl 0558.14028 |
| [9] | Viehweg, E.: Vanishing theorem. Journal fur die reine und angewandte Mathematik Band335 (1982) · Zbl 0485.32019 |
| [10] | Zariski, O.: The theorem of Riemann-Roch for high multiples of an effective divisor on an algebraic surface. Ann. of Math.76, 560-615 (1962) · Zbl 0124.37001 · doi:10.2307/1970376 |
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