[For the entire collection see Zbl 0487.00005.]
Gegenstand der Arbeit ist die Idealklassengruppe der Ringe \({\mathcal O}(X)\) der reell analytischen Funktionen, der Nashfunktionen \({\mathcal N}(X)\), der reell regulären Funktionen \({\mathcal R}(X)\), sowie der Polynomfunktionen \({\mathcal P}(X)\) auf bestimmten reell analytischen bzw. algebraischen Mengen. Zunächst wird im Falle eines kompakten, kohärenten irreduziblen analytischen Raumes X gezeigt, daß \({\mathcal O}(X)\) genau dann lokal faktoriell ist, wenn die Idealklassengruppe \(C({\mathcal O}(X))\) isomorph zu \(H^ 1(X,{\mathbb{Z}}_ 2)\) ist. Für den Ring \({\mathcal N}(X)\) der Nashfunktionen einer reellen algebraischen Mannigfaltigkeit beweisen die Autoren, daß unter geeigneten Voraussetzungen die Klassengruppe \(C({\mathcal N}(X))\) in \(H^ 1(X,{\mathbb{Z}}_ 2)\) eingebettet werden kann, und sogar isomorph zu \(H^ 1(X,{\mathbb{Z}}_ 2)\) ist, wenn X kompakt ist. Weiterhin wird zu einer kompakten irreduziblen algebraischen Mannigfaltigkeit \(X\subset {\mathbb{R}}^ n\) der Ring \({\mathcal R}(X)\) der auf X regulären Funktionen untersucht. Auch hier erhält man einen Monomorphismus f:\(C({\mathcal R}(X))\to H^ 1(X,{\mathbb{Z}}_ 2)\). Für nicht- singuläres X war dies von Bröcker und in anderer Form von Swan schon bewiesen worden. Siehe hierzu die ausführliche Diskussion dieses Satzes im Zbl 0472.14015, Referat zur Arbeit von L. Bröcker, Arch. Math. 35, 140-143 (1980). Im allgemeinen ist f kein Isomorphismus, sondern das Bild ist isomorph zu \(H^{alg}_{m-1}(X,{\mathbb{Z}}_ 2)\), \(m=\dim X\), das ist die von den algebraischen 1-codimensionalen Zyklen erzeugte Untergruppe von \(H_{m-1}(X,{\mathbb{Z}}_ 2)\). Es wird gezeigt, daß das zur ersten Stiefel-Whitney-Klasse duale Element in \(H^{alg}_{m- 1}(X,{\mathbb{Z}}_ 2)\) liegt. Weitere Untersuchungen zu \(H^{alg}_{m-1}\) findet man in den Artikeln von Benedetti-Tognoli und Silhol im selben Band [R. Benedetti und A. Tognoli, ”Remarks and counter- examples in the theory of real algebraic vector bundles and cycles”, Lect. Notes Math 959, 198-211 (1982; Zbl 0498.14015 und R. Silhol, ”A bound on the order of \(H^{(a)}_{n-1}(X,{\mathbb{Z}}/2)\) on a real algebraic variety”, ibid. 443-450 (1982)]. Schließlich wird noch ein Kriterium dafür angegeben, daß der Ring \({\mathcal R}(X)\) der Polynomfunktionen auf einer kompakten algebraischen Mannigfaltigkeit faktoriell ist.