Let but de l’article est de définir la transformée de Fourier d’une distribution de type positif sur un groupe de Lie G unimodulaire et de type I et de généraliser ainsi le théorème de Bochner-Schwartz bien connu dans le cas où \(G={\mathbb{R}}^ n\). Dans ce but, on introduit les mesures-opérateurs à croissance lente sur le dual \(\hat G\) de G, ce qui constitue une généralisation des mesures tempérées sur \({\mathbb{R}}^ n.\)
Une mesure-opérateur est la donnée (à une équivalence près) d’un couple (\(\mu\),U) où \(\mu\) est une mesure réelle positive et U un champ d’opérateurs. La notion de croissance lente fait intervenir l’image par les représentations infinitésimales d’un élément elliptique de l’algèbre enveloppante de G.
La transformée de Fourier de T est alors l’unique mesure-opérateur à croissance lente (\(\mu\),U) vérifiant \[ <{\check \theta},T>=\int_{\hat G}tr(\pi(\theta)U_{\pi})d\mu(\pi) \] pour toute fonction-test \(\theta\). La construction de (\(\mu\),U) utilise la désintégration centrale de la représentation \(\pi_ T\) et du vecteur cyclique \(\xi_ T\) associés à T.
On étudie deux cas particuliers où la transformée de Fourier est entièrement définie par une mesure réelle: le cas d’une distribution centrale et celui d’une distribution biinvariante par rapport à un sous-groupe compact formant avec G une paire de Gelfand. Dans ces deux cas, et lorsque \(G=SL(2,{\mathbb{R}})/Z_ 2\), on constate que la croissance lente se ramène à la croissance polynômiale par rapport aux valeurs propres de l’opérateur de Casimir.
La transformée de Fourier des distributions de type positif permet d’unifier plusieurs résultats d’analyse harmonique non commutative; on peut par exemple retrouver la formule de Plancherel sans utilisation des traces. Elle devrait également aider à obtenir des formules de Plancherel concrètes sur certains espaces homogènes. Il paraît en outre intéressant d’étudier de façon plus détaillée le cas des groupes nilpotents en liaison avec la méthode des orbites.