Concurrent normals and critical points under weak smoothness assumptions. (English) Zbl 0489.52013
Discrete geometry and convexity, Proc. Conf., New York 1982, Ann. N. Y. Acad. Sci. 440, 170-178 (1985).
[For the entire collection see Zbl 0564.00011.]
Dans cet article l’auteur étudie des propriétés des normales à un corps convexe K de \({\mathbb{R}}^ n\) (n\(\geq 3)\). Il montre notamment qu’il existe dans K un point situé sur 6 normales; une \(1^{\grave ere}\) démonstration suppose la frontière \(\partial K\) de classe \(C^ 2\); une \(2^{\grave eme}\) démonstration est faite sans hypothèse de régularité sur \(\partial K.\)
Ce travail repose sur l’étude des points critiques de l’application: \(f_ p: \partial K\to {\mathbb{R}},\quad x\mapsto \| x-p\|^ 2\) (p désignant un point de int K) et sur les notions d’ensemble focal et d’ensemble focal généralisé.
Des conjectures et questions ouvertes sont proposées en fin d’article.
Dans cet article l’auteur étudie des propriétés des normales à un corps convexe K de \({\mathbb{R}}^ n\) (n\(\geq 3)\). Il montre notamment qu’il existe dans K un point situé sur 6 normales; une \(1^{\grave ere}\) démonstration suppose la frontière \(\partial K\) de classe \(C^ 2\); une \(2^{\grave eme}\) démonstration est faite sans hypothèse de régularité sur \(\partial K.\)
Ce travail repose sur l’étude des points critiques de l’application: \(f_ p: \partial K\to {\mathbb{R}},\quad x\mapsto \| x-p\|^ 2\) (p désignant un point de int K) et sur les notions d’ensemble focal et d’ensemble focal généralisé.
Des conjectures et questions ouvertes sont proposées en fin d’article.
Reviewer: J.C.Dupin
MSC:
| 52C07 | Lattices and convex bodies in \(n\) dimensions (aspects of discrete geometry) |
| 58E05 | Abstract critical point theory (Morse theory, Lyusternik-Shnirel’man theory, etc.) in infinite-dimensional spaces |
