In einer früheren Arbeit [Simultaneous approximation to algebraic numbers by rationals. Acta Math. 125, 189–201 (1970; Zbl 0205.06702)] hatte der Verf. den bekannten Satz von Roth über rationale Approximationen an eine algebraische Zahl auf simultane Approximationen übertragen, und später (Teil I) [Linear forms with algebraic coefficients. I. J. Number Theory 3, 253–277 (1971; Zbl 0221.10034)] hat er diese Ergebnisse weiter verallgemeinert.
In der vorliegenden Arbeit werden die dabei gewonnenen Resultate dazu benützt, um folgende Sätze zu zeigen.
Satz I. Es seien \(L_1, \ldots, L_t\) Linearformen in \(\mathfrak x =(x_1,\ldots,x_n)\) mit reellen algebraischen Koeffizienten, und \(\eta\) sei positiv. Die folgenden Bedingungen sind äquivalent:
(a) Es gibt eine Konstante \(c_1 = c_1 (L_1, \ldots, L_t; \eta)\) und unendlich viele Gitterpunkte \(\mathfrak x\) mit \[ \vert L_1(\mathfrak x) \cdots L_t(\mathfrak x)\vert \le c_1 \vert\mathfrak x\vert^{t-\eta}. \]
(b) Es gibt einen rationalen Teilraum \(S^d\) des \(\mathbb R^n\) mit einer Dimension \(d\) mit \(1\le d\le n\) und es gibt eine Teilmenge \(L_{i_1}, \ldots, L_{i_m}\) der gegebenen Linearformen mit \(1\le m\le t\) und \(i_1>\ldots< i_m\), deren Rang \(r\) im Teilraum \(S^d\) die Ungleichungen \(r\le dm/\eta\) und \(r < d\) befriedigt.
Satz 2. Es sei \(K\) ein Zahlkörper und \(\mathfrak M\) ein Modul in \(K\). Der Modul \(\mathfrak M\) heißt ausgeartet, falls er einen Teilmodul enthält, der einem vollständigen Modul in einem Teilkörper \(H\) von \(K\) proportional ist, welcher weder der rationale Körper noch ein quadratischer Körper ist. Dabei heißt ein Modul in \(H\) vollständig, falls er ebenso viel über den rationalen Zahlen linear unabhängige Elemente enthält wie \(H\). Nun gilt:
Genau dann gibt es Zahlen \(b\), für welche die Gleichung \(N(\mu) = b\), wobei \(N\) die Norm bedeutet, unendlich viele Lösungen \(\mu\) in \(\mathfrak M\) hat, falls \(\mathfrak M\) ausgeartet ist.
Mit Hilfe dieses Satzes erhält man leicht Aussagen über diophantische Gleichungen \(f(x_1,\ldots, x_n) = b\), wobei \(f\) eine Form ist, die über den komplexen Zahlen in lineare Faktoren zerfällt. Diese Aussagen enthalten die Sätze von Thue \((n = 2)\) und von Skolem-Chabauty \((n = 3)\).
Satz 1 wird aus gewissen tiefliegenden im Tel I (loc. cit.) erhaltenen Resultaten hergeleitet. Satz 2 folgt aus Satz 1 und gewissen sich auf die Galoisgruppe des Normalkörpers von \(K\) beziehenden kombinatorischen Überlegungen.