Dieser Artikel stellt eine Erweiterung des vorstehend besprochenen Artikels [Zbl 0159.21202] dar. Kapitel 1 enthält eine Zusammenfassung der Grundbegriffe der einfachen und der erweiterten Intervallarithmetik sowie der zugehörigen Maschinenintervallarithmetik.
Im Anschluß an einige Definitionen aus „Grundlagen einer Maschinenintervallarithmetik“ (loc. cit.)wird in Kapitel 2 der folgende Stetigkeitssatz bewiesen: Sind \(F_1(t)\) und \(F_2(t)\in\Phi(A)\) stetige Intervallfunktionen, dann ist auch \(F(t)=F_1(t)*F_2(t)\) eine in \(A\) stetige Intervallfunktion. \(*\) bedeutet eine der vier Grundoperationen.
Ein für die Anwendung wichtiger, als Stetigkeitssatz der Intervallarithmetik bezeichneter Satz wird bewiesen und lautet: Sei \(R(t)= P(t) : Q(t)\) eine rationale Intervallfunktion. Dann ist der mittels der einfachen bzw. der erweiterten Intervall_arithmetik gebildete Intervallausdruck \(R(*X)\) bzw. \(R(X)\) stetig in jedem Intervall \(I\) mit der Eigenschaft \(0\notin Q(*I)\) bzw. \(0\notin Q(I)\).
Kapitel 3 beschäftigt sich mit der Behandlung nichtrationaler Punkt- bzw. Intervallfunktionen. Im Falle stetiger Punkt- bzw. Intervallfunktionen sichert der Weierstraßsche Approximationssatz die folgende \(\varepsilon^1 - \varepsilon^2\)-Approximatton für \(y(t)\) bzw. \(Y(t)\): \[ -\varepsilon^1 < y(t) - r(t)< \varepsilon^2\quad\text{bzw. }Y(t)\subseteq R(t) + [-\varepsilon^1,\varepsilon^2] \text{ mit }\varepsilon^1>0, \varepsilon^2 >0, \] wobei \(r(t)\) bzw. \(R(t)\) eine rationale singularitätenfreie Punkt- bzw. Intervallfunktion darstellt. Damit ist die Behandlung der nichtrationalen Funktionen auf die der rationalen zurückgeführt. Die Auswertung von Punkt- bzw. Intervallfunktionen für ein Intervall \(X\) mit der erweiterten Intervallarithmetik liefert stets den gesuchten Wertebereich, während die Auswertung mit der einfachen Intervallarithmetik im allgemeinen eine Obermenge dieses Wertebereiches liefert. Da jedoch die Operationen der einfachen Intervallarithmetik auf einer digitalen Rechenanlage leichter ausführbar sind, wird die erweiterte Intervallarithmetik durch die einfache Intervallarithmetik folgendermaßen approximiert:
Sei \(R(t)\) eine rationale Intervallfunktion, \(R'(t)\) ihre Ableitung. Um den Wertebereich von \(R(t)\) für ein Intervall \(X\) zu berechnen, bestimmt man entsprechend dem Verfahren, das in dem nachstehend besprochenen Artikel [Zbl 0159.21401] behandelt ist, die Nullstellen von \(R'(t)\). Diese liefern die Extremwerte von \(R(t)\). Besitzt \(R'(t)\) keine Nullstellen, so ist \(R(t)\) monoton, und der Wertebereich läßt sich einfach bestimmen. Die rationalen Punktfunktionen sind in diesem Verfahren als Spezialfall enthalten. Ersetzt man die einfache Intervallarithmetik durch die Maschinenintervallarithmetik, so hat man eine einfache Möglichkeit zur Auswertung einer Intervallfunktion auf einer digitalen Rechenanlage. Es ist bei den Teilungsverfahren zur Bestimmung der Nullstellen darauf zu achten, daß alle Teilpunkte Maschinenzahlen sind und daß die Länge der Teilintervalle mit \(0\in R'(*Y)\) bei fortgesetzter Unterteilung gegen Null strebt. Die Maximalzahl der möglichen Unterteilungen hängt dabei von der Mantissenlänge der Zahlen der benutzten Rechenanlage ab.