Das Buch ist eine geglückte Kombination von Lehrbuch und Handbuch. Es kann dem (lediglich mit den Kenntnissen einer Grundvorlesung über Algebra ausgestatteten) Anfänger als sehr gute Einführung in den Gegenstand dienen, es kann sehr nutzbringend als Textbuch zu Vorlesungen und Seminaren verwandt werden, und es kann dem Fachmann als Nachschlagewerk wertvolle Dienste leisten; denn eine große Fülle von Material, das bisher in Zeitschriftenartikeln weit verstreut war, ist hier zum ersten Male sehr übersichtlich geordnet zusammengefaßt, einheitlich im Rahmen größerer Zusammenhänge dargestellt und in allen Einzelheiten bewiesen worden. Neben der klassischen Darstellungs- und Charakterentheorie der endlichen Gruppen (innerhalb der den induzierten Darstellungen und induzierten Charakteren gebührend großer Raum gegeben wird) werden die Theorie der ganzzahligen Darstellungen und die Grundzüge der R. Brauerschen Theorie der modularen Darstellungen und der modularen Charaktere (auf modultheoretischer Basis) entwickelt. Zur Grundlegung dieser Theorien und, unabhängig davon, als gleichberechtigter Gegenstandsbereich, wird die Theorie der Ringe mit Minimalbedingung und der endlich dimensionalen Algebren dargestellt. Dabei werden die wichtigen Klassen der Quasi-Frobenius-Algebren, der Frobenius-Algebren, der halbeinfachen Ringe und der separablen Algebren recht ausführlich behandelt. Es sind einige Anwendungen der Darstellungs- und der Charakterentheorie auf die Strukturtheorie der endlichen Gruppen im Buch enthalten. Die Verff. betonen jedoch, daß es nicht ihre Absicht war, einen ausführlichen Bericht darüber zu geben.
Im letzten Abschnitt wird eine Übersicht über die vorhandene Literatur auf diesem Gebiete gegeben. Ebenso wurden die Darstellungstheorie der unendlichen und der topologischen Gruppen, sowie die physikalischen Anwendungen völlig beiseite gelassen.
Am Ende von fast jedem Paragraphen finden sich Übungsaufgaben (zum Teil mit Anleitungen versehen), die es dem Leser ermöglichen sollen, teils sein Verständnis des Stoffes zu überprüfen, teils seine Kräfte zu erproben. Eine Reihe von Übungsaufgaben sind aber auch als Ergänzungen und Abrundungen der behandelten Theorien zu betrachten. Hält man sich die große Spannweite des Buches in den zahlreichen, ausführlich behandelten Gegenständen wie in der Vielschichtigkeit der angesprochenen Leserschaft vor Augen, so wird man es sich – die gleichen Intentionen wie die der Verff. vorausgesetzt – allenfalls anders, aber wohl kaum wesentlich besser geschrieben vorstellen können. Trotz seines großen Umfanges könnte man das Buch wohl doch in einem Zuge lesen, obgleich die Verff. es so angelegt haben, daß viele Kapitel und Abschnitte weitgehend unabhängig von den anderen sind.
Die Verff. erklären im VORWORT es als ihr Ziel, in einer soweit wie irgend möglich in sich geschlossenen Darstellung einen “up-to-date” Bericht über die Darstellungstheorie von endlichen Gruppen und über die assoziativen Ringe und Algebren zu geben. Sie beabsichtigen weder enzyklopädisch zu sein, noch in einer historischen Aufzählung die ganze Theorie vollständig zu erfassen. Statt dessen haben sie sich darauf konzentriert, diejenigen Resultate wiederzugeben, die ihnen als die wichtigsten und die fruchtbarsten erscheinen, und all die Vorkenntnisse bereitzustellen, die zum Beweis dieser Ergebnisse nötig sind.
I. BACKGROUND FROM GROUP THEORY.
Es werden (Kenntnisse in der elementaren Gruppentheorie vorausgesetzt) einige rein gruppentheoretische Tatsachen, soweit diese später benötigt werden, zusammengestellt und zum Teil bewiesen. Sie werden zur Motivierung der darstellungstheoretischen Begriffsbildungen und Probleme herangezogen, und reichen von den Permutationsgruppen, Untergruppen und Faktorgruppen, Konjugiertenklassen, abelschen, nilpotenten und auflösbaren Gruppen, zu den Sylowschen Sätzen und den Erweiterungen von Gruppen.
II. DARSTELLUNGEN UND MODULN.
Es werden die Begriffe der Darstellung einer Gruppe durch lineare Transformationen eines Vektorraumes und durch Matrizen über einem Körper, sowie die damit zusammenhängenden Begriffe (Äquivalenz usw.) eingeführt und durch Beispiele erläutert. Sie werden jedoch alsbald mit den Begriffen des Moduls und der Darstellung einer Algebra in Zusammenhang gebracht. Das Buch bevorzugt fast durchweg die modultheoretische Behandlung. Es werden die grundlegenden darstellungstheoretischen Sätze für endliche Gruppen bewiesen (z. B. der Satz von Maschke über die vollständige Reduzibilität) und alle wichtigen modul- und ringtheoretischen Begriffe eingeführt, die von der Reduzibilität und der vollständigen Reduzibilität, den direkten Summen, Homomorphismen, Unter-und Faktormoduln, bis zu Endlichkeitsbedingungen (aufsteigende und absteigende Kettenbedingung) reichen. Große Aufmerksamkeit wird den Tensorprodukten von Moduln und Darstellungen gewidmet. Es wird der Rahmen geschaffen für die Theorie der induzierten Darstellungen und Moduln. Paragraphen über Kompositionsreihen (Satz von Jordan-Hölder), unzerlegbare Moduln (Satz von Krull-Schmidt) und vollständig reduzible Moduln beschließen dieses einführende Kapitel.
III. ALGEBRAISCHE ZAHLENTHEORIE.
Dieses Kapitel gibt eine in sich geschlossene Einführung in diejenigen Teile der algebraischen Zahlentheorie, die später in der gewöhnlichen und der modularen Darstellungs- und Charakterentheorie und zur Behandlung der ganzzahligen Darstellungen gebraucht werden. Es werden die bekannten Sätze aus der Theorie der Moduln über Hauptidealringen samt Invarianten- und Elementarteilertheorie bewiesen. An die Definition und die wichtigsten Sätze über algebraische Zahlen, und die Definition der Noetherschen und der ganzabgeschlossenen Ringe schließt sich die Theorie der (gebrochenen und ganzen) Ideale von Dedekindschen Ringen an. Es folgen ein Abriß der Bewertungstheorie und der P-adischen Zahlen, ein Abschnitt über Normen von Idealen und Idealklassen, eine Diskussion der Kreisteilungskörper, und schließlich die Theorie der endlich erzeugten, torsionsfreien Moduln über Dedekindschen Ringen mit Invariantensatz, Elementarteilersatz und der Kennzeichnung der reinen Untermoduln eines Moduls über einem Dedekindschen Ring als dessen direkte Summanden.
IV. HALBEINFACHE RINGE UND GRUPPENALGEBREN.
Für die Ringe mit Minimalbedingung (für Linksideale) wird das Radikal als das Erzeugnis aller nilpotenten Linksideale eingeführt (das dann bekanntlich selbst ein nilpotentes zweiseitiges Ideal ist). Die halbeinfachen Ringe werden definiert als die Ringe mit Minimalbedingung, deren Radikal gleich 0 ist. Es folgt die Theorie der Moduln über halbeinfachen Ringen (vollständige Reduzibilität). [Hier wäre ein anderes Vorgehen vielleicht doch wünschenswerter gewesen. Führt man [vgl. N. Bourbaki, Eltments de math6matique, Algèbre, Chap. 8 (1958, dies. Zbl. 102, 272)] die Theorie der halbeinfachen (= vollständig reduziblen) Moduln für beliebige Ringe durch, und definiert man die halbeinfachen Ringe (ohne Voraussetzung der Minimalbedingung) so, daß ein Ring \(A\) genau dann halbeinfach ist, wenn \(A\) als Linksmodul über sich selbst vollständig reduzibel ist, dann ist \(A\) halbeinfach genau dann, wenn jeder \(A\)-Modul vollständig reduzibel ist. Das Verhältnis der halbeinfachen Ringe zu den vollständig reduziblen Moduln wäre dann von dem etwas störenden Dazwischentreten der Minimalbedingung befreit und klarer herausgearbeitet. Ähnliches gilt für den Radikalbegriff, der wohl auch besser ohne die Voraussetzung der Minimalbedinguni eingeführt würde.]
Danach wird der Wedderburnsche Struktursatz über die einfachen Ringe mit Minimalbedingung hergeleitet. Als Vorbereitung auf die Charakterentheorie der endlichen Gruppen wird das Schursche Lemma für endlichdimensionale Algebren über algebraisch abgeschlossenen Körpern bewiesen, sowie der Satz von Frobenius und Schur, daß die Koeffizienten von paarweise inäquivalenten, irreduziblen, endlichdimensionalen Darstellungen einer Algebra linear unabhängige Funktionen auf A liefern. Danach werden diese Sätze auf Gruppenalgebren angewandt, die Klassensummen als Basis des Zentrums nachgewiesen, und das Radikal einer Gruppenalgebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper von zur Gruppenordnung nicht teilerfremder Charakteristik behandelt. Wie diese Sätze mit Erfolg zur Bestimmung der irreduziblen Darstellung einer Gruppe angewandt werden können, wird am Beispiel der symmetrischen Permutationsgruppen gezeigt. Das Kapitel schließt mit einer Untersuchung darüber, wie sich die irreduziblen Darstellungen einer Algebra bei Erweiterung des Grundkörpers verhalten, mit der Einführung des Begriffes der absoluten Irreduzibilität, des Zerfällungskörpers, und einiger grundlegender Sätze darüber (z. B.: Zu jeder endlichen Gruppe \(G\) existiert ein algebraischer Zahlkörper, der Zerfällungskörper von \(G\) ist) und mit einigen Bemerkungen zur Frage der Halbeinfachheit von Algebren bei Grundkörpererweiterungen.
V. GRUPPEN-CHARAKTERE.
Die Sätze der vorangegangenen Abschnitte werden auf die Gruppenalgebra \(KG\) einer endlichen Gruppe \(G\) über einem Körper \(K\) angewandt. Der Charakter eines \(KG\)-Moduls wird definiert durch die Spuren der Matrizen jeder Matrizendarstellung von \(G\), die von \(M\) durch Bezugnahme auf eine beliebige \(K\)-Basis geliefert wird; er ist also gleich dem Charakter dieser Matrizendarstellungen. Es werden dann die grundlegenden Eigenschaften der Charaktere entwickelt. (Z. B.: Sie sind Klassenfunktionen. Die Charaktere von paarweise nichtisomorphen irreduziblen \(KG\)-Moduln sind linear unabhängig, falls \(\operatorname{char} K = 0\) oder \(K\) Zerfällungskörper ist. Zwei \(KG\)-Moduln \(M\) und \(N\) sind isomorph genau dann, wenn ihre Charaktere \(u\) und \(v\) gleich sind, vorausgesetzt, daß \(\operatorname{char} K = 0\) oder daß \(M\) und \(N\) beide absolut irreduzibel sind.) Ferner wird der wichtige Satz von R. Brauer und Nesbitt bewiesen: Ist \(K\) Zerfällungskörper von \(G\), dann haben \(M\) und \(N\) die gleichen Kompositionsfaktoren genau dann, wenn für jedes \(g\in G\) die Matrizen der zugehörigen Matrizendarstellungen die gleichen charakteristischen Wurzeln haben.
Es folgen die Orthogonalitätsrelationen der Charaktere einer endlichen Gruppe über dem Körper \(\mathbb C\) der komplexen Zahlen. Als Beispiele werden die Charakterentafeln einiger Gruppen niedriger Ordnung berechnet, und es werden die Charaktere von Permutationsdarstellungen und die Produkte von Charakteren untersucht.
Ein Abschnitt ist den zentralen Idempotenten von \(\mathbb CG\) und deren Zusammenhang mit den irreduziblen Charakteren gewidmet.
Schließlich folgen eine ganze Reihe von schon klassisch gewordenen Anwendungen der Gruppencharaktere auf die Strukturuntersuchung von Gruppen: Burnsides Satz von der Auflösbarkeit der Gruppen von einer Ordnung \(p^aq^b\), der Satz von Frobenius und Wielandt über die Existenz von Normalteilern in einer endlichen Gruppe, und Sätze von Jordan, Burnside und Schur über die periodischen Untergruppen der Gruppe aller \(n\)-reihigen nichtsingulären Matrizen über dem Körper der komplexen Zahlen (Endlichkeit dieser Gruppen, wenn sie endlich erzeugt oder die Ordnungen ihrer Elemente beschränkt sind, Existenz von abelschen Normalteilern usw.). In einem kurzen Paragraphen über die Einheiten im Gruppenring wird die Frage angeschnitten, wann aus der Isomorphie der Gruppenringe \(\mathbb ZG\) und \(\mathbb ZH\) zweier endlicher Gruppen \(G\) und \(H\) die Isomorphie von \(G\) und \(H\) folgt (z. B. wenn \(G\) und \(H\) abelsch sind).
VI. INDUZIERTE CHARAKTERE.
Dieses wichtige Kapitel enthält neben den grundlegenden und mehr elementaren Tatsachen über induzierte Charaktere (Reziprozitätssatz von Frobenius usw.) auch die tieferliegenden Sätze über Ausnahmecharaktere (exceptional characters) von Brauer, Suzuki und Feit, einiges aus der Theorie der rationalen Charaktere, sowie den bedeutsamen Satz von R. Brauer, daß jeder verallgemeinerte Charakter einer endlichen Gruppe \(Z\)-Linearkombination von solchen Charakteren ist, die von verallgemeinerten Charakteren elementarer Untergruppen induziert werden (elementare Untergruppe – direktes Produkt einer zyklischen Gruppe mit einer Gruppe von Primzahlpotenzordnung), nebst dessen Verallgemeinerung von Witt und Berma n. Von den behandelten Anwendungen des Brauerschen Satzes seien hier nur Untersuchungen über den Schur-Index eines Charakters erwähnt, und der Satz, daß eine endliche Gruppe vom Exponenten n den Körper der \(n\)-ten Einheitswurzeln (über dem Körper der rationalen Zahlen) als Zerfällungskörper besitzt.
VII. INDUZIERTE DARSTELLUNGEN.
Die Behandlung der induzierten Darstellungen wird hier – abweichend von Frobenius’ eigenem Vorgehen – ganz auf das Tensorprodukt von Moduln abgestellt. Die Dimension \(i(M, N)\) des \(K\)-Vektorraumes \(\operatorname{Hom}_{KG}(M, N)\) aller Homomorphismen eines \(KG\)-Moduls \(M\) in einen \(KG\)-Modul \(N\) wird als “Verkettungszahl” (intertwining number) bezeichnet und spielt in den Untersuchungen der induzierten Moduln eine große Rolle. Beispiel: Ist \(M\) vollständig reduzibel, \(N\) irreduzibel, und ist \(K\) algebraisch abgeschlossen, dann ist \(i(M, N)\) gleich der Anzahl der Kompositionsfaktoren isomorph zu \(N\) in einer Kompositionsreihe von \(M\). Die behandelten Methoden werden an Beispielen erläutert, und als Anwendung werden die irreduziblen Darstellungen der metazyklischen Gruppen ermittelt.
Die folgenden Abschnitte enthalten den Satz von Clifford über die vollständige Reduzibilität einer irreduziblen Darstellung einer Gruppe \(G\) nach Einschränkung auf einen Normalteiler \(N\) in (bezüglich \(G\) konjugierte) irreduzible Darstellungen von \(N\), imprimitive Moduln, projektive Darstellungen und deren Anwendung auf die Theorie der monomialen Darstellungen, und schließlich die Schursche Theorie der projektiven Darstellungen (Faktorensysteme, Schursche Darstellungsgruppe).
VIII. NICHT-HALBEINFACHE RINGE.
Ebenso wie das Kapitel IV über halbeinfache Ringe die Grundlagen für die “gewöhnliche” Darstellungs- und Charakterentheorie liefert, und doch gleichzeitig die halbeinfachen Ringe um ihrer selbst willen behandelt, so liefern dieses und das folgende Kapitel die allgemeinen Grundlagen für die modulare Darstellungstheorie, und behandeln dennoch die Ringe mit Minimalbedingung als eigenen Gegenstandsbereich. Die Verff. haben es sich bewußt versagt, hierbei den ganzen Apparat der homologischen Algebra einzusetzen, was an sich zu vielen Vereinfachungen führen würde. Sie wollen sich auch an diejenigen Leser wenden, die mit dieser Theorie nicht vertraut sind, und eine eigene Einführung in die homo-Algebra hätte den Rahmen dieses Buches sicher gesprengt. Gleichwohl werden einige Ideen der homologischen Algebra implizite herangezogen, und projektive Moduln spielen eine zentrale Rolle in diesen Kapiteln. Es werden zunächst diejenigen (Links-) Moduln eines Ringes \(A\) mit Minimalbedingung (für Linksideale) behandelt, die isomorph sind zu einem direkt unzerlegbaren Linksideal von A (principal indecomposable modules). Sie werden den Blöcken (= unzerlegbare zweiseitige Ideale) von \(A\) zugeordnet. Ein endlich erzeugter \(A\)-Modul ist projektiv genau dann, wenn er direkte Summe von principal indecomposable Moduln ist.
Der nächste Abschnitt befaßt sich mit injektiven Moduln über beliebigen Ringen (mit Einselement) und dringt bis zum Satz von Eckmann und Schöpf vor: Jeder Modul \(M\) kann in einen eindeutig bestimmten kleinsten injektiven Modul (die injektive Hülle von \(M\)) eingebettet werden. Im darauffolgenden Abschnitt werden die Quasi-Frobenius-Ringe definiert als diejenigen Ringe mit Minimalbedingung, für die der Linksannulator \(l(r(L))\) des Rechtsannulators \(r(L)\) jedes Linksideals \(L\) gleich \(L\) ist, und ebenso \(r(l(R)) = R\) gilt für jedes Rechtsideal \(R\). Es werden einige Eigenschaften der Quasi-Frobenius-Ringe und ihrer Moduln herausgearbeitet, die für beliebige Ringe mit Minimalbedingung nicht gelten.
IX. FROBENIUS-ALGEBREN.
Das Kapitel beginnt mit einer Diskussion der injektiven \(A\)-Linksmoduln über einer endlich dimensionalen Algebra \(A\). Es sind dies die direkten Summen der dualen Vektorräume von principal indecomposable \(A\)-Rechtsmoduln, die in bekannter Weise zu \(A\)-Linksmoduln gemacht werden. Danach werden die Frobenius-und die Quasi-Frobenius-Algebren (unabhängig vom vorangegangenen Kapitel) eingeführt als diejenigen Algebren, deren erste und zweite reguläre Darstellung isomorph sind, bzw. isomorphe unzerlegbare Komponenten (jedoch mit möglicherweise verschiedenen Vielfachheiten) besitzen. Sie werden durch die Existenz von assoziativen Bilinearformen und durch die Annullatoren ihrer Links- und Rechtsideale (siehe Kapitel VIII) charakterisiert. Eine Verallgemeinerung (von Gaschütz, Ikeda u. a.) des Mittellungsverfahrens in Maschkes Beweis von der vollständigen Reduzibilität der Darstellungen einer Gruppe über einem Körper von zur Gruppenordnung teilerfremder Charakteristik führt zu einer Kennzeichnung der projektiven Moduln über einer Frobenius-Algebra. Hier sind die projektiven Moduln genau die injektiven Moduln.
Für die Gruppenalgebra \(KG\) einer endlichen Gruppe \(G\) wurden diese Begriffe von D. G. Higman zur “Projektivität bzw. Injektivität relativ zu einer Untergruppe \(H\)” verallgemeinert. Auch diese Begriffe sind gleichwertig und lassen sich durch das genannte Mittellungsverfahren kennzeichnen. Ist \(K\) ein Körper der Charakteristik \(p\), und ist \(P\) eine \(p\)-Sylowgruppe von \(G\), dann ist jeder \(KG\)-Modul injektiv relativ zu \(P\). Dieser Satz und die genannten Begriffe spielen eine wichtige Rolle in den Untersuchungen der unzerlegbaren \(KG\)-Moduln von J. A. Green, wobei vorausgesetzt wird, daß die Charakteristik \(p\) von \(K\) die Gruppenordnung teilt. Jedem \(KG\)-Modul \(M\) wird eine \(p\)-Untergruppe \(B\) von \(G\) zugeordnet (vertex of \(M\)) und ein unzerlegbarer KB-Modul \(L\) (source of \(M\)) so, daß \(M\) isomorph ist zu einem direkten Summanden des von \(L\) induzierten \(KG\)-Moduls. Unter den gleichen Voraussetzungen über die Charakteristik von \(K\) zeigt ein Satz von D. G. Higman, Kasch, M. Kneser und Kupisch, daß es nur endlich viele unzerlegbare \(KG\)-Moduln genau dann gibt, wenn die \(p\)-Sylowgruppen von \(G\) zyklisch sind.
Sodann wendet sich die Betrachtung den symmetrischen Algebren zu. Es sind dies die Frobenius-Algebren mit symmetrischer, assoziativer Bilinearform. Jede Gruppenalgebra ist eine symmetrische Algebra. Die anschließende Untersuchung der Moduln über symmetrischen Frobenius-Algebren dreht sich um die Eigenschaften, die diese Moduln, aufgefaßt als Moduln über ihren Endomorphismenringen, besitzen (double centralizer property u. a.). Die dort bewiesenen Sätze werden benützt, um die irreduziblen Darstellungen der generellen linearen Gruppe \(\mathrm{GL}(V)\) eines \(K\)-Vektorraumes \(V\) \((\operatorname{char} K= 0)\) auf dem \(m\)-fachen Tensorprodukt \(V(m)\) von \(V\) mit sich selbst mit Hilfe der symmetrischen Gruppe \(S\) zu ermitteln.
X. ZERFÄLLUNGSKÖRPER UND SEPARABLE ALGEBREN.
Der erste Abschnitt bringt die wichtigsten Sätze über Zerfällungskörper von einfachen Algebren und insbesondere von Schiefkörpern (aufgefaßt als Algebren über ihren Zentren), soweit sie in den nachfolgenden Paragraphen gebraucht werden. Die gleichen Beschränkungen haben sich die Verff. im nächsten Abschnitt auferlegt, der sich um die Erhaltung der Halbeinfachheit einer Algebra bei separabler Erweiterung ihres Grundkörpers dreht. Diese zwei Abschnitte werden in der ausführlichen Behandlung des Verhaltens einer irreduziblen Darstellung einer endlichen Gruppe bei Erweiterung des als perfekt vorausgesetzten Grundkörpers angewandt. In die umgekehrte Richtung gewendet ist es die Frage nach der Realisierbarkeit einer Darstellung in einem Teilkörper. Hier werden vor allem diejenigen Teilkörper der algebraisch abgeschlossenen Hülle K* eines Körpers K betrachtet, die Oberkörper von K sind und alle Werte des Charakters 4’ einer irreduziblen Darstellung U über K* enthalten. Ist K(’) der kleinste dieser Körper, dann ist der Schur-Index mg( U) das Minimum der Grade (11 :Kg)) aller Teilkörper F von K*, in denen die Darstellung U realisierbar ist. Es existieren endliche algebraische Erweiterungskörper F, in denen U realisierbar ist, und der Körpergrad (F : Kg)) ist dann, ebenso wie der Grad von U, ein Vielfaches des Schur-Index mK(U). Man erhält die Primzahlpotenzteiler von mic( U) aus den Schur-Indizes gewisser Darstellungen von gewissen Untergruppen von G (R. Brauer). Der Abschnitt enthält noch einige weitere wichtige Sätze über den Schur-Index. Eine Algebra heißt separabel, wenn sie halbeinfach bleibt bei jeder Erweiterung des Grundkörpers. Der wichtigste der behandelten Sätze über separable Algebren ist deren Charakterisierung durch D. G. Higman als diejenigen Frobenius-Algebren, die vom “Gaschütz-Ikeda-Operator” (vgl. den Mittellungsprozeß im Kapitel IX) auf ihr Zentrum abgebildet werden. Das Kapitel schließt mit einer (implizite) kohomologischen Behandlung der Erweiterung von Moduln (verallgemeinerte und innere verallgemeinerte Derivationen). Sie führt zu einem Satz von Wedderburn-IVIalcev, der besagt, daß eine endlich dimensionale Algebra, deren Restklassenring nach ihrem Radikal separabel ist, als semidirekte Summe ihres Radikals und einer halbeinfachen Algebra dargestellt werden kann.
XI. GANZZAHLIGE DARSTELLUNGEN.
Es gehört wohl mit zu den größten Verdiensten dieses Buches, daß es den gegenwärtigen Stand der Theorie der ganzzahligen Darstellungen in einer Form darstellt, die auch dem Anfänger zugänglich ist. Darüber hinaus ist dieses Kapitel so geschrieben, daß es wesentlichen Gebrauch nur von den Kapiteln II und III macht, also mit einem Minimum an Vorkenntnissen gelesen werden kann. Ein sehr guter einführender Abschnitt beschränkt sich zwar auf die Darstellungen einer endlichen Gruppe über dem Ring \(Z\) der ganzen rationalen Zahlen (die Ergebnisse gelten allgemeiner für Hauptidealringe), läßt dafür aber die tragenden Ideen und Begriffe des Kapitels um so deutlicher zutage treten (\(Z\)-Äquivalenz, Verkettungsfunktionen (binding functions), innere Verkettungsfunktionen zweier \(Z\)-Darstellungen). An Hand von Beispielen wird gezeigt, daß viele Sätze aus dem Gebiete der Darstellungen über Körpern für ganzzahlige Darstellungen nicht mehr richtig sind (z. B. die Sätze von Jordan-Hölder, von Krull-Schmidt, und von Maschke), und daß wichtige Begriffe modifiziert werden müssen (z. B. Reduzibilität, Kompositionsreihe). Um den Leser noch besser an die Theorie heranzuführen, werden im nachfolgenden Abschnitt alle \(ZG\)-Moduln mit endlicher \(Z\)-Basis für die Gruppen \(G\) von Primzahlordnung bestimmt und klassifiziert (Diederichsen und Reiner).
Die allgemeine Theorie der ganzzahligen Darstellungen stützt sich auf einen Dedekindschen Ring \(R\), dessen Quotientenkörper \(K\), auf eine endlich dimensionale Algebra \(A\) über \(K\) mit Einselement \(e\), und auf gewisse Teilringe \(B\) von \(A\), die \(R\)-Ordnungen in \(A\), die außer \(e\) eine \(K\)-Basis von \(A\) enthalten und endlich erzeugte \(R\)-Moduln sind. Prototyp und Hauptanwendungsbereich dieses Begriffes ist die Gruppenalgebra RG einer endlichen Gruppe G als Ordnung in der Gruppenalgebra KG. Gegenstand der Theorie sind die endlich erzeugten und als R-Moduln torsionsfreien B-Moduln und deren Verhältnis zu den A-Moduln. Zum Beispiel gilt : Jeder A -Modul M der Dimension n über K enthält einen B-Modul N des R-Ranges n so, daß M = KN gilt. Die Theorie der B-Moduln wird wesentlich kompliziert dadurch, daß es i. a. mehrere nicht-isomorphe B-Moduln N gibt, für die M = KN gilt. Grundlegende darstellungstheoretische Begriffe müssen neu gefaßt werden, z. B.: Ein B-Modul heißt R-reduzibel, wenn er einen B-Modul L 0 kleineren R-Ranges besitzt. (Jedoch ist N B-reduzibel genau dann, wenn M = KN A-reduzibel ist.) Die mit der Reduzibilität und der Erweiterung von B-Moduln zusammenhängenden Probleme werden mit der Methode der Verkettungsfunktionen zweier B-Moduln und der ersten Kohomologiegruppe C(T) eines (B, B)-Bimoduls T angegangen. Der Durchschnitt i(B) der Annullatoren ann C(T) der Kohomologiegruppen C(T) aller (B, B)-Bimoduln T ist von zentraler Bedeutung. Im Spezialfall der Gruppenalgebra RG ist i(RG) das von der Gruppenordnung von G erzeugte Hauptideal in R. Die Untersuchungen werden bis zu dem wichtigen Satz von D. G. Higman geführt: A ist separabel genau dann, wenn i(B) = 0 ist. Sie werden durch Betrachtungen der primären Komponenten der Kohomologiegruppen C(T) ergänzt. Besondere Bedeutung hat das Ideal i(B) von R, wenn R Bewertungsring eines Körpers K mit einer diskreten Bewertung, und A eine separable Algebra über K ist. Wenn P das (einzige) maximale Ideal von R bezeichnet, dann kann man jede R-Darstellung U von B modulo Pk betrachten, man kann sie als R*-Darstellung über dem Bewertungsring R* der perfekten Hülle K* von K auffassen, und aus ihr eine K-Darstellung ü von B = B/PB über dem Restklassenkörper K = R/P =—2 R*/P* gewinnen. Besonders glatte Ergebnisse erhält man dabei, wenn i(B) = R gilt. Dann sind z. B. für zwei R-Darstellungen T, U von B die R-Äquivalenz, die K-Äquivalenz, und die g-Äquivalenz von T und U gleichwertig. Eine andere Voraussetzung, die für zwei B-Moduln M und N die Gleichwertigkeit der Isomorphie von M und N mit der Isomorphie der Moduln M und N nach sich zieht, ist, daß M und N projektive B-Moduln sind. Ein weiteres wichtiges Thema dieses Abschnittes über die “lokale” Theorie der projek-tiven B-Moduln ist die Methode des “Anhebens” von paarweise orthogonalen Idempotenten von B in die Ordnung B* = R*B der K*-Algebra A* —- K*A hinein (lifting idempotents), die in der modularen Darstellungstheorie der endlichen Gruppen angewandt wird. Der nächste Abschnitt bringt die “globale” Theorie der projektiven B-Moduln. Hierbei wird die Voraussetzung gemacht, daß K ein algebraischer Zahlkörper, R der Ring der ganzen algebraischen Zahlen von K, A = KG und B = RG (G endliche Gruppe) ist. Es sind vor allem Ergebnisse von S wan, die hier dargestellt werden. Die Eigenschaften eines projektiven RG-Moduls M werden weitgehend durch die Eigenschaften der KG-Moduln M = M/PM bestimmt, wenn P die Primteiler der Gruppenordnung (GI in R durchläuft. Von den weiteren Resultaten dieses Abschnittes sei als Beispiel erwähnt, daß jeder projektive RG-Modul isomorph ist zu einer direkten Summe von solchen Links-idealen von RG, die selber projektive RG-Moduln sind. Der nächste Abschnitt behandelt einen Satz von Jordan und Zassenhaus. Ist A eine halbeinfache, endlich dimensionale Algebra über dem Körper Q der rationalen Zahlen, und ist B eine Z-Ordnung in A, dann gibt es zu jedem A-Modul M nur eine endliche Anzahl von Z-inäquivalenten B-Moduln IV mit der Eigenschaft, daß M = QN gilt. Der darauf folgende Paragraph ist den Ordnungsidealen von endlich erzeugten R-Moduln gewidmet (R wieder ein beliebiger Dedekindscher Ring). Das Kapitel wird von einem Abschnitt über das Geschlecht von B-Moduln beschlossen, der sich auf Arbeiten von M ar a n da stützt. A wird dabei zusätzlich als separable Algebra vor-ausgesetzt. Ist J ein Ideal = 0 von R, und ist Rj der Ring aller Elemente von R, die ganz sind bezüglich aller Primideale, die J teilen, dann kann R durch R J und B durch BJ. = RJB ersetzt, und jeder B-Modul M zu einem .B-Modul NJ = RJ.11/J gemacht werden. Es wird vornehmlich untersucht, wie sich die R-Äquivalenz der B-Moduln zur RJ-Äquivalenz der Bj-Moduln beim Übergang von M zu MJ verhält.
XII. MODULARE DARSTELLUNGEN.
Was über den Wert des vorangegangenen Kapitels gesagt wurde, gilt auch uneingeschränkt für dieses, zumal die modulare Darstellungtheorie für die Strukturtheorie der endlichen Gruppen große Bedeutung besitzt. Es handelt sich hier jedoch nur um die Darlegung der Grundzüge und um den Beweis der Hauptsätze der von R. Brauer geschaffenen Theorie der modularen Darstellungen und der “modularen” Charaktere (die von den Verff. richtiger als die “Brauerschen Charaktere” bezeichnet werden). Mit zahlreichen Hinweisen auf weitergehende Ergebnisse und mit einer größeren Literaturübersicht über die Anwendungen der Brauerschen Theorie in den Strukturuntersuchungen von endlichen Gruppen wird es dem Leser jedoch relativ leicht gemacht, sich zu orientieren und den Zugang zu den nicht im Buche behandelten Arbeiten zu finden. Die sehr guten Grundlagen für die Brauersche Theorie, die die übrigen Kapitel des Buches vermitteln, wiegen die in den Augen des Gruppentheoretikers vielleicht etwas zu knapp geratene Behandlung der Brauersehen Theorie bei weitem auf. Es werden zunächst die modularen Darstellungen einer endlichen Gruppe G, deren modulare, und deren Brauersche Charaktere eingeführt und ihre wichtigsten Eigenschaften bewiesen. Es folgen Abschnitte über die Cartan-Invarianten und die Zerlegungszahlen, über die Orthogonalitätsrelationen, über die Blöcke von Charakteren, über den Defekt eines Blockes, über die Defektgruppen, und über die Blöcke der Gruppen, die eine normale p-Untergruppe besitzen. Ein weiterer Paragraph bringt als Ergänzungen die verallgemeinerten Zerlegungszahlen, konjugierte Charaktere und Sätze von Brauer und Feit über die Anzahl der Charaktere in einem Block. Die Theorie wird an der Diedergruppe D, und an der symmetrischen Gruppe 84 erläutert.