Il fallait une certaine audace pour publier sous forme de livre les brillants résultats que l’A. a obtenus si récemment. On peut cependant affirmer que la tentative est pleinement réussie. L’ouvrage présenté donne un exposé – unique dans la littérature existante – de la théorie des faisceaux et des espaces fibrés, vue du point de vue le plus moderne, et son intérêt n|est pas moindre pour le Topologue que pour le Géométre Algébriste.
Le Chapitre 1 – presque la moitié de l’ouvrage expose les théories de base: Calcul formel (dû à l’A.) qui associe à toute série entière une suite de polynomes. Théorie des faisceaux (cohomologie d’un espace à valeur dans un faisceau, suite exacte, etc.); théorie des espaces fibrés à fibre vectorielle. Ici la théorie de l’isomorphisme des fibrés est faite, du point du vue moderne, en associant au fibré une classe du groupe \(H\) de la base \(X\) à valeurs dans le faisceau des germes d’applications de \(X\) dans le groupe de structure \(G\). Puis intervient le procédé, fondamental pour la suite, de réduction du groupe de structure \(G\) à un sous-groupe fermé: diagonalisation du groupe des rotations \(\mathrm{SO}(k)\) par passage au fibré induit sur le fibré sur \(X\) en variétés de drapeaux \(F(k)= \mathrm{SO}(k)/\Delta^k\). Ce procédé permet de définir les classes caractéristiques de Chern et Pontrjagin par la théorie de Borel-Serre du tore maximal, ce qui conduit à des définitions beaucoup plus maniables que les définitions classiques: les théorèmes de “dualité”, notamment, se démontrent immédiatement, et toute équivoque sur le signe des classes de Chern est écartée.
Le Chap. II donne ce qu’il est nécessaire de savoir sur les nombres caractéristiques de Pontrjagin et la théorie du “cobordisme” afin d’établir le théorème de l’index, qui permet d’exprimer l’index \(\tau(V)\) d’une variété orientée en fonction de ses nombres de Pontrjagin. Définition et propriétés des indices virtuels, associés à un système de classes de cohomologie de \(H^2(V;Z)\).
Le chapitre III donne, dans une variété presque-complexe, la définition du genre de Todd, et du genre de Todd virtuel, absolu ou relatif à un fibré. Propriétés multiplicatives et arithmétiques du genre de Todd, identité fonctionnelles auxquelles satisfait le genre \(T_y\). Invariance du genre de Todd par passage au fibré en variétés de drapeaux, avec, pour terminer, l’expression du genre de Todd d’une variete à fibré diagonal en fonction d’indices virtuels.
Le Chapitre IV en arrive au point essentiel: Définition de la caractéristique \(\chi\) d’une variété complexe compacte à valeurs dans un faisceau comme somme alternée des rangs (finis) des groupes de cohomologie \(H^i(V;F)\); \(T^p\) désignant le faisceau des \(p\)-formes holomorphes, on pose \(\chi^p= \chi(V;F\circ T^p)\) et \(\chi_y= \sum y^p\chi^p\). On a alors \(\chi_{-1}=\) caractéristique d’Euler-Poincaré, et, pour une variété kählérienne, \(\chi_1(V)= \tau(V)\) (Th. dû à Hodge) pour le faisceau des fonctions holomorphes. La formule des 4 termes de Kodaira-Spencer (qui est l’équivalent, pour les faisceaux, de la dualité de Whitney), permet de définir le comportement de la caractéristique \(\chi_y\) par restriction à un diviseur sans singularités. Par extension de cette formule à un diviseur arbitraire, on définit des caractéristiques \(\chi_y\) virtuelles, qui ont les mêmes propriétés formelles que le genre de Todd \(T_y\). Puls l’A. introduit les théorèmes fondamentaux de Kodaira sur la caractérisation des diviseurs positifs et des variétés algébriques. Le fait que taut diviseur est différence de deux diviseurs positifs et sans singularités permet de passer du cas “réel” au cas virtuel: on montre ainsi que la caractéristique \(\chi_1\) est égale à l’index \(\tau\) même dans le cas virtuel, et les formules établies pour \(T_y\) et \(\chi_y\) dans une variété diagonalisable (au sens analytique) permettent d’identifier le genre de Todd \(T_0(V)\) et le genre arithmétique \(\chi_0(V)\). On passe de là au cas général d’une variété algébrique \(V\) en substituant à \(V\) le fibré \(V^\Delta\) dont la fibre est la variété de drapeaux (\(V^\Delta\) est encore algébrique, et \(\chi_0(V^\Delta)= \chi_0(V))\). La démonstration proposée souffre peut-être d’un abus de formalisme, et pourra peut-\^tre être simplifiée ultérieurement, au moins en présentation (On a l’impression, par exemple, que dans la théorie de la diagonalisation, le fibré des vecteurs tangents aux fibres variétés de drapeaux ne joue qu’un rôle parasite, qui devrait pouvoir être éliminé).
Finalement, l’A. aboutit à une formule générale qui donne le \(\chi\) d’une variété algébrique \(V\) à valeurs dans le faisceau des germes de sections holomorphes dun fibré analytique \(G\) comme un polynome par rapport aux classes de Chern de \(V\) et du fibré \(G\). Un paragraphe final fait le raccord avec la théorie classique de Riemann-Roch.
Le lecteur peut ainsi se rendre compte du progrès considérable apporté dans cette branche de la Géométrie Algébrique par les méthodes extrêmement générales de l’A.