Es wird folgendes mit dem Satz vom iterierten Logarithmus zusammenhängende neue Theorem bewiesen: Für unabhängige \(X\) mit \(E(X_k)=0\). Str. \((X_k)=1\) und gleichmäßig beschränkten dritten Momenten gilt für \(U_n = \max_{1\leq k\leq n} k^{-1/2} S_k\) mit \(S_k = \sum_{\nu=1}^k X_\nu\), daß \[ \lim_{n \to \infty} P \left(U_n < (2\log\log n)^{1/2}+{\log\log n \over 2(2\log\log n)^{1/2}}+{t \over (2\log\log n)^{1/2}}\right) = \]
\[ = \exp\left(-{1 \over e^t 2\pi^{1/2}}\right) \] ist. Der im einzelnen recht komplizierte Beweis erfolgt in zwei Schritten. Zuerst wird der Satz für normalverteilte \(X_k\) bewiesen, indem der sog. Uhlenbeck-Ornsteinsche Prozeß [ein Gaußscher und zugleich Markoffscher Prozeß mit \(E(X(t))=0\) und \(E(X(t)X(s)) = \exp(-|t-s|)\)] herangezogen wird, für den mit \(t_k={1\over 2} \log k\) gilt, daß \(\{X(t_k)\}\) gleichverteilt mit \(S_k \cdot k^{-1/2}\) ist. Der Übergang zu beliebig verteilten \(X_k\) erfolgt durch den Nachweis, daß die Grenzverteilung unabhängig von der \(X_k\)-Verteilung existiert [sog. Erdős-Kacsches Invarianzprinzip, zuerst in Bull. Am. Math. Soc. 52, 292-302 (1946; Zbl 0063.01274), angewandt].