Es bezeichne \(\Sigma_{n,s} \) die \(s\)-te elementar-symmetrische Funktion der Zahlen \(1,\ldots,n\), \(f(n)\) sei der größte Wert von \(s\), für den (bei festem \(n\)) \(\Sigma_{n,s}\) sein Maximum annimmt. J. M. Hammersley [Proc. Lond. Math. Soc. (3) 1, 435–452 (1951; Zbl 0044.03902)] zeigte
\[ f(n) = n-[\varrho+ \tfrac1 2+[\zeta(2)-\zeta(3)]/\varrho+h/\varrho^2], \quad \varrho = \log(n+1)+\gamma-3 \tag{1} \]
\(-1,1<h<1,5\) wo \(\gamma\) die Eulersche Konstante und \(\zeta(s)\) die Riemannsche \(\zeta\)-Funktion bezeichnet, sowie
\[ \Sigma_{n,1}<\ldots < \Sigma_{n,f(n)-1} \leq \Sigma_{n,f(n)} > \Sigma_{n,f(n)+1} > \ldots > \Sigma_{n,n}. \tag{2} \]
Er vermutete, daß in (2) auch stets \(\Sigma_{n,f(n)-1} \le \Sigma_{n,f(n)}\) gilt, d. h. der Wert \(s\), für den \(\Sigma_{n,s}\) bei gegebenem \(n\) sein Maximum annimmt, ist eindeutig bestimmt (und daher \(=f(n))\). Der Verf. beweist diese Vermutung.
Hierzu zeigt er unter Verwendung des Primzahlsatzes für \(n > 10^s\) sogar, daß alle \(\Sigma_{n,s}\), \(1\le s\le n\), voneinander verschieden sind. Weiter sei \(u_1<u_2<\ldots\) eine Folge positiver reeller Zahlen, für die \(\Sigma_i u^{-1}_i\) divergiert und \(\Sigma_i u^{-2}_i\) konvergiert. Werden \(\Sigma_{n,s}\) und \(f(n)\) für die \(n\) ersten Zahlen dieser Folge wie oben definiert, so gilt analog zu (1):
\[ f(n) = n-\left[\sum_{i=1}^n u_i^{-1} - \sum_{i=1}^\infty u^{-2} (1+u_i^{-1})^{-1}+O(1)\right]. \]
Der Verf. vermutet, daß für \(n\ge n_0=n_0(u_i)\) auch hier das maximalisierende \(s\) eindeutig bestimmt ist, und bemerkt, daß diese Vermutung für den Fall, daß alle \(u_i\) natürliche Zahlen sind und einer arithmetischen Progression angehören, zutrifft.