Verf. betrachtet \(L(s,\chi)\), wobei \(\chi\) eine reeller Charakter mod \(k\), aber nicht Hauptcharakter ist. Es wird gezeigt, daß \(L(s,\chi)\ne 0\) für reelles positives \(s\) und \(2\le k\le 67\). Die Methoden des Verf. sind nach seinen Angaben auch für \(67\le k\le 227\) anwendbar, mit Ausnahme von \(k = 148\) und \(k = 163\). Diese Ausnahmefälle werden vom Verf. weiterhin untersucht werden.
Da das Fehlerglied in der asymptotischen Entwicklung für \(\pi(k,l; x)\) wesentlich von den reellen Nullstellen von \(L(s,\chi)\) abhängt, ergibt sich aus den Untersuchungen des Verf. für die angegebenen \(k\) eine Verbesserung der bisherigen Resultate [vgl. A. Page, Proc. Lond. Math. Soc. (2) 39, 116–141 (1935; Zbl 0011.14905)].
Im einzelnen wird gezeigt, daß
\[ L(s,\chi)= \sum_{\alpha=1}^\infty f(s,k,\alpha) \sigma_{\alpha},\quad \sigma_{\alpha} = \sum_{n=1}^{[k/2]} \chi(n) (k - 2n)^\alpha, \]
wobei \(f(s,k, \alpha) > 0\) für reelles \(s > 0\). Für großes \(\alpha\) ist dann \(\sigma_{\alpha} > 0\), so daß aus \(\sigma_{\alpha}\ge 0\) für \(\alpha\ge 1\) auch \(L(s,\chi)> 0\) für \(s > 0\) folgt. Bei der Betrachtung positiver Nullstellen von \(L(s,\chi)\) genügt es, sich auf primitive Charaktere zu beschränken. Für diese folgt \(\sigma_{\alpha}\ge 0\) für \(\alpha\ge 1\), wenn \(k < 67\) und \(k\ne 43\) ist, durch geeignete Zusammenfassung der Summanden in \(\sigma_\alpha\). Für \(k = 43\) und \(k = 67\) ist \(\sigma_3 < 0\), so daß in diesen Fällen spezielle Untersuchungen nötig sind, um zu zeigen, daß die positiven Glieder der unendlichen Reihe die negativen überwiegen. Verf. führt dieses für \(k = 67\) im einzelnen durch und gibt an, daß es sich für \(k = 43\) entsprechend verhält.