Verallgemeinerung eines Mittelwertsatzes von J. Favard für positive konkave Funktionen. (German) Zbl 0029.11704
References:
| [1] | J. L. W. V. Jensen, Sur les fonctions convexes et les inégalitésentre les valeurs moyennes. Acta math. 30 (1906) 175–193. · JFM 37.0422.02 · doi:10.1007/BF02418571 |
| [2] | J. Favard, Sur les valeurs moyennes. Bull. Sci. Math. (2) 57 (1933), 54–64. HerrFavard nimmt als Integrationsintervall das Intervall 0 und schreibt an Stelle des Integrals links in (1,3) einen äquivalenten Mittelwert, in unserer Bezeichnungsweise 17-1. · Zbl 0007.06104 |
| [3] | Die Stetigkeit ina<x<b folgt aus den vorhergehenden Voraussetzungen. |
| [4] | Im folgenden wird stets vorausgesetzt, dass die nicht abnehmende (und ebenso die nicht zunehmende, bezw. monotone) Funktion in Innern ihres Definitionsintervalls nicht konstant ist. Andernfalls m��ssen die Angaben über die Giltigkeit des Gleichheitszeichens in den Sätzen dieser Arbeit geändert werden. |
| [5] | Vgl etwaG. Pólya undG. Szegö, Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis I., Berlin 1925, II. Abschnitt, Kap. 2., Aufgabe 83, S. 55; Lösung S. 210. |
| [6] | Ph. Frank undG. Pick, Distanzschätzungen im Funktionenraum I.,Math. Ann. 76 (1915), 354–357, bes. Satz I a, S. 359. Vgl. auchFavard, Sur les valeurs moyennes. Bull. Sci. Math. (2) 57 (1933), a. a. O., S. 58 f. undH. Kneser, Bemerkung über die gemischten Inhalte in vier Dimensionen, Math. Ann. 115 (1937), 132–135. · JFM 45.0456.01 · doi:10.1007/BF01458149 |
| [7] | Favard, a. a. O., Sur les valeurs moyennes, Bull. Sci. Math. (2) 57 (1933), S. 58. · Zbl 0007.06104 |
| [8] | L. J. Rogers, Messenger of Math. (2) 17 (1888). Vgl.Pólya undSzegö, a. a. O., Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis I., Berlin 1925, II. Abschnitt, Kap. 2, Aufgabe 78, S. 53; Lösung S. 209. – Ich verdanke HerrnG. Pick folgenden einfachen Beweis (m>1): Bei der Ersetzunga i a i ,b i b i (>0, {\(\sigma\)}>0, i=1,2,...m) ändert sich (5.1) nicht. Man kann daher durch $$\(\backslash\)sum\(\backslash\)limits_{i = 1}\^m {a_i = 1, } \(\backslash\)sum\(\backslash\)limits_{i = 1}\^m {a_i b_i = 1} $$ normieren. Dann stebt rechts in (5.1) Eins und zu beweisen ist $$\(\backslash\)sum\(\backslash\)limits_{i = 1}\^m {a_i \(\backslash\)log b_i } \(\backslash\)leqq \(\backslash\)upsilon .$$ Das folgt aber aus logx unmittelbar. Das Gleichheitszeichen steht nur fürb i =1 (i=1,2,...m). Aufhebung der Normierung ergibt (5.1). |
| [9] | Jensen,a. a. O.,. Nr. 4 Dort werden dief i (x) und integrabel vorausgesetzt, und die {\(\alpha\)} i durch $$\(\backslash\)sum\(\backslash\)limits_{i = 1}\^m {\(\backslash\)alpha _i = 1} $$ normiert. · JFM 37.0422.02 · doi:10.1007/BF02418571 |
| [10] | Favard,a. a. O., S. 60. |
| [11] | Vgl.Jensen, a. a. O.,. Bemerkung am Schluss von Nr. 1. · JFM 37.0422.02 · doi:10.1007/BF02418571 |
| [12] | Die entsprechende Verallgemeinerung des Mittelwertsatzes von Favard (mitn=2) beiFavard, a. a. O.,, S. 61 ff. |
| [13] | –Jensen, a. a. O.,. Bemerkung nach Nr. 7. · JFM 37.0422.02 · doi:10.1007/BF02418571 |
| [14] | Jensen, a. a. O.,. Nr. 4. · JFM 37.0422.02 · doi:10.1007/BF02418571 |
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