Diophantische Gleichungen. (German) Zbl 0018.29302
Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 5, No. 4. Berlin: Julius Springer. 130 S. (1938).
Der T. Nagellsche Bericht über Diophantische Gleichungen höheren Grades [L’analyse indéterminée de degré supérieur. Mém. Sci. Math. 39. Paris: Gauthier-Villars (1929; JFM 55.0712.02)] ist durch die Ergebnisse der letzten Jahre überholt worden, und es fehlte bisher eine zusammenfassende Darstellung der neuen Resultate. Diese Lücke füllt Verf. jetzt aus. In leicht lesbarer und interessanter Form stellt er den augenblicklichen Zustand des Gebietes dar und berücksichtigt dabei auch die linearen, multilinearen und quadratischen Gleichungen. Die ganze zweite Hälfte betrifft jedoch die rationalen und ganzzahligen Punkte auf algebraischen Kurven höherer Ordnung; dabei werden u. a. 16 Seiten den Thue-Siegelschen Methoden gewidmet. An vielen Stellen skizziert Verf. die Beweise, was den Nutzen erhöht. Den Abschluß bildet ein 8 Seiten langes Literaturverzeichnis.
Inhaltsverzeichnis: Einleitung. Kap. 1. Lineare Gleichungen. §1. Systeme homogener linearer Gleichungen. §2. Systeme inhomogener linearer Gleichungen. §3. Transformation von linearen Gleichungssystemen. Elementarteiler.
Kap. 2. Gleichungen, die in einigen Unbekannten linear sind. §1. Lösbarkeitskriterien für bilineare und multilineare Gleichungen. §2. Allgemeine Lösungen gewisser Determinantengleichungen und der bilinearen Gleichung. §3. Allgemeinere Sätze über die ganzzahlige Lösbarkeit von Gleichungen, die in einigen Unbekannten linear sind.
Kap. 3. Quadratische Gleichungen. §1. Homogene quadratische Gleichungen. §2. Inhomogene binäre quadratische Gleichungen. §3. Inhomogene quadratische Gleichungen in mehr als zwei Unbekannten.
Kap. 4. Multiplikative Gleichungen. §1. Systeme von Gleichungen der Gestalt
\[ A_ix_1^{a_{i1}} x_2^{a_{i2}}\cdots x_K^{a_{iK}}= B_iy_1^{b_{i1}} y_2^{b_{i2}}\cdots y_L^{a_{iL}}\qquad (i = 1, 2 ,\ldots , M). \]
§2. Gleichungen der Gestalt: Zerlegbare Form \(=\) Konstante. §3. Gleichungen der Gestalt \(f(x_1, \ldots, x_n) = hy_1^{c_1}\cdots y_m^{c_m}\), wo \(f\) eine zerlegbare Form ist.
Kap. 5. Rationale Punkte auf algebraischen Kurven. §1. Kurven vom Geschlechte Null. §2. Kurven vom Geschlechte Eins. §3. Kurven vom Geschlechte \(> 1\).
Kap. 6. Punkte mit ganzzahligen Koordinaten auf algebraischen Gebilden, insbesondere ebenen Kurven. §1. Der Satz von Runge. §2. Die Thue-Siegelschen Sätze. §3. Die Darstellbarkeit ganzer Zahlen durch gewisse besondere Klassen binärer Formen. §4. Eine \(p\)-adische Methode. Anwendung auf die Gleichung \(N(\alpha x + \beta y + \gamma z) = h\).
{A reprint has been published by Chelsea Pub. Co. in 1950.}
Inhaltsverzeichnis: Einleitung. Kap. 1. Lineare Gleichungen. §1. Systeme homogener linearer Gleichungen. §2. Systeme inhomogener linearer Gleichungen. §3. Transformation von linearen Gleichungssystemen. Elementarteiler.
Kap. 2. Gleichungen, die in einigen Unbekannten linear sind. §1. Lösbarkeitskriterien für bilineare und multilineare Gleichungen. §2. Allgemeine Lösungen gewisser Determinantengleichungen und der bilinearen Gleichung. §3. Allgemeinere Sätze über die ganzzahlige Lösbarkeit von Gleichungen, die in einigen Unbekannten linear sind.
Kap. 3. Quadratische Gleichungen. §1. Homogene quadratische Gleichungen. §2. Inhomogene binäre quadratische Gleichungen. §3. Inhomogene quadratische Gleichungen in mehr als zwei Unbekannten.
Kap. 4. Multiplikative Gleichungen. §1. Systeme von Gleichungen der Gestalt
\[ A_ix_1^{a_{i1}} x_2^{a_{i2}}\cdots x_K^{a_{iK}}= B_iy_1^{b_{i1}} y_2^{b_{i2}}\cdots y_L^{a_{iL}}\qquad (i = 1, 2 ,\ldots , M). \]
§2. Gleichungen der Gestalt: Zerlegbare Form \(=\) Konstante. §3. Gleichungen der Gestalt \(f(x_1, \ldots, x_n) = hy_1^{c_1}\cdots y_m^{c_m}\), wo \(f\) eine zerlegbare Form ist.
Kap. 5. Rationale Punkte auf algebraischen Kurven. §1. Kurven vom Geschlechte Null. §2. Kurven vom Geschlechte Eins. §3. Kurven vom Geschlechte \(> 1\).
Kap. 6. Punkte mit ganzzahligen Koordinaten auf algebraischen Gebilden, insbesondere ebenen Kurven. §1. Der Satz von Runge. §2. Die Thue-Siegelschen Sätze. §3. Die Darstellbarkeit ganzer Zahlen durch gewisse besondere Klassen binärer Formen. §4. Eine \(p\)-adische Methode. Anwendung auf die Gleichung \(N(\alpha x + \beta y + \gamma z) = h\).
{A reprint has been published by Chelsea Pub. Co. in 1950.}
Reviewer: K. Mahler (Manchester)
MSC:
11Dxx | Diophantine equations |
11-02 | Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory |
11D04 | Linear Diophantine equations |
11D09 | Quadratic and bilinear Diophantine equations |
11D25 | Cubic and quartic Diophantine equations |
11D57 | Multiplicative and norm form equations |
11D85 | Representation problems |
11E25 | Sums of squares and representations by other particular quadratic forms |
11G30 | Curves of arbitrary genus or genus \(\ne 1\) over global fields |
14G05 | Rational points |
14G25 | Global ground fields in algebraic geometry |
14H25 | Arithmetic ground fields for curves |