Generalized hypergeometric series. (English) Zbl 0011.02303
Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. 32. London: Cambridge University Press. vii, 108 p. (1935).
Die klassische Theorie der gewöhnlichen hypergeometrischen Funktionen ist in Kleins Vorlesungen (neu herausgegeben von O. Haupt, Berlin: Julius Springer (1933; Zbl 0007.12202)]) dargestellt worden. Weiter sind gewisse neuere Ergebnisse in der Richtung der Appellschen Untersuchungen in dem Buche von P. Appell und J. Kampé de Fériet [Fonctions hypergéométriques et hypersphériques. Paris: Gauthier-Villars (1926; JFM 52.0361.13)] enthalten.
In dem vorliegenden Büchlein werden hauptsächlich neuere Untersuchungen über die verallgemeinerte hypergeometrische Reihe \[ {}_pF_q \left(\begin{matrix} \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_p, z \\ \quad \rho_1, \ldots,\rho_q \quad \end{matrix}\right) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(\alpha_1)_n (\alpha_2)_n \cdots (\alpha_p)_n}{n! (\rho_1)_n (\rho_2)_n \cdots (\rho_q)_n} z^n \] \[ (\alpha)_n = \alpha(\alpha+1)\cdots (\alpha+ n -1), \] behandelt, die sich vielfach an Hardys Arbeit aus dem Jahre 1923 [G. H. Hardy, A chapter from Ramanujan’s notebook, Proc. Camb. Philos. Soc. 21, 492–503 (1923; JFM 49.0254.01)] anschließen.
Inhaltsangabe: Nach einem kurzen Abriß der gewöhnlichen hypergeometrischen Reihe werden die Sätze von Saalschütz, Dixon, Watson und Whipple über \({}_3F_2\) bewiesen. Sodann folgt eine systematische Zusammenstellung der wichtigsten Transformationsformeln der allgemeinen \({}_pF_q\) nach drei verschiedenen methodischen Gesichtspunkten:
1. Durch Summierung von Reihen geringerer Ordnung,
2. durch Benutzung eines Dougallschen Satzes, kombiniert mit einem Carlsonschen Satze aus dem Phragmén-Lindelöfschen Ideenkreise,
3. durch die Barnesschen Kurvenintegrale.
Dazu kommt eine Darstellung der speziellen Transformationsformeln fiir die sog. „well-poised“ Reihen, d. h. für \[ p = q+1, 1+\alpha_1 = \rho_1 + \alpha_2 = \cdots = \rho_q + \alpha_{q+1}. \]
Wir finden weiter einige Resultate über die Heineschen Basisreihen, in denen \((\alpha)_n\), durch \[ (\alpha)_{q, n} = (1 - \alpha) (1 - \alpha q) \cdots (1 - \alpha q^{n-1}) \] ersetzt wird. Als Grenzfälle ergeben sich die Rogers-Ramanujanschen Identitäten. Auch eine kurze Darstellung der Appellschen hypergeometrischen Funktionen von zwei Veränderlichen wird gegeben. Einige vermischte Resultate (u. a. die interessanten älteren Identitäten von Cayley und Orr über gewöhnliche hypergeometrische Reihen), eine Sammlung von Beispielen und Aufgaben sowie eine Literaturzusammenstellung bilden den Abschluß des Buches.
In dem vorliegenden Büchlein werden hauptsächlich neuere Untersuchungen über die verallgemeinerte hypergeometrische Reihe \[ {}_pF_q \left(\begin{matrix} \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_p, z \\ \quad \rho_1, \ldots,\rho_q \quad \end{matrix}\right) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(\alpha_1)_n (\alpha_2)_n \cdots (\alpha_p)_n}{n! (\rho_1)_n (\rho_2)_n \cdots (\rho_q)_n} z^n \] \[ (\alpha)_n = \alpha(\alpha+1)\cdots (\alpha+ n -1), \] behandelt, die sich vielfach an Hardys Arbeit aus dem Jahre 1923 [G. H. Hardy, A chapter from Ramanujan’s notebook, Proc. Camb. Philos. Soc. 21, 492–503 (1923; JFM 49.0254.01)] anschließen.
Inhaltsangabe: Nach einem kurzen Abriß der gewöhnlichen hypergeometrischen Reihe werden die Sätze von Saalschütz, Dixon, Watson und Whipple über \({}_3F_2\) bewiesen. Sodann folgt eine systematische Zusammenstellung der wichtigsten Transformationsformeln der allgemeinen \({}_pF_q\) nach drei verschiedenen methodischen Gesichtspunkten:
1. Durch Summierung von Reihen geringerer Ordnung,
2. durch Benutzung eines Dougallschen Satzes, kombiniert mit einem Carlsonschen Satze aus dem Phragmén-Lindelöfschen Ideenkreise,
3. durch die Barnesschen Kurvenintegrale.
Dazu kommt eine Darstellung der speziellen Transformationsformeln fiir die sog. „well-poised“ Reihen, d. h. für \[ p = q+1, 1+\alpha_1 = \rho_1 + \alpha_2 = \cdots = \rho_q + \alpha_{q+1}. \]
Wir finden weiter einige Resultate über die Heineschen Basisreihen, in denen \((\alpha)_n\), durch \[ (\alpha)_{q, n} = (1 - \alpha) (1 - \alpha q) \cdots (1 - \alpha q^{n-1}) \] ersetzt wird. Als Grenzfälle ergeben sich die Rogers-Ramanujanschen Identitäten. Auch eine kurze Darstellung der Appellschen hypergeometrischen Funktionen von zwei Veränderlichen wird gegeben. Einige vermischte Resultate (u. a. die interessanten älteren Identitäten von Cayley und Orr über gewöhnliche hypergeometrische Reihen), eine Sammlung von Beispielen und Aufgaben sowie eine Literaturzusammenstellung bilden den Abschluß des Buches.
Reviewer: G. Szegö (St. Louis, Mo.)
MSC:
| 33-02 | Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to special functions |
| 33C20 | Generalized hypergeometric series, \({}_pF_q\) |
| 33C65 | Appell, Horn and Lauricella functions |
| 33Cxx | Hypergeometric functions |
