Hoppa till innehållet

Omegakonstanten

Från Wikipedia

Omegakonstanten är den matematiska konstanten

där W betecknar Lamberts W-funktion.

Karakterisering

[redigera | redigera wikitext]

Eric Weisstein beskriver omegakonstanten som exponentialfunktionens motsvarighet till det gyllene snittet, då den bland annat uppfyller följande ekvivalenta identiteter:

där e betecknar Eulers tal och ln betecknar den naturliga logaritmen.

Irrationalitet och transcendens

[redigera | redigera wikitext]

Omegakonstanten är ett irrationellt tal, vilket följer av att e är transcendent. Om Ω kunde skrivas som ett rationellt tal p/q skulle gälla att

och därmed att e är algebraiskt, en motsägelse. Att Ω även är transcendent följer av Lindemann–Weierstrass sats: om den vore algebraisk skulle eΩ och därmed även

vara transcendent, vilket motsäger det ursprungliga antagandet.

Ω kan beräknas genom att välja en lämplig uppskattning Ω0 och sedan utföra iterationen

som konvergerar mot Ω då n går mot oändligheten, om än relativt långsamt. En mer effektiv iteration är

som konvergerar kvadratiskt.

En integral för omegakonstanten är

Jämförelsevis är

ett exempel på att komplexiteten hos värdet av en definit integral är svår att förutsäga.