Ekuacionet kuadratike

Ekuacioni kuadratik ose barazimi i shkallës së dytë në trajtën e përgjithshme shënohet me

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,\,\!}$

x ku a ≠ 0. Sepse nëse a = 0, atëherë ai është ekuacion linear.

Numrat real a, b, dhe c quhen koeficientë, ndërsa x është e panjohura e formules.

Ç'do vlerë e të panjohurës x e cila ekuacionin kuadratik e shndërron në gjykim të saktë quhet zgjidhje e ekuacionit. Në përgjithësi ekuacioni kuadratik ka dy zgjidhje të cilat quhen edhe rrënjë, në bashkësinë e numrave kompleks të cilat lehtë gjenden sipas të ashtuquajturës formula kuadratike :

${\displaystyle {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$ ,

ku simboli "±" tregon se

${\displaystyle {\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

dhe

${\displaystyle {\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

X1= dhe X2=

janë zgjidhjet.

Shprehja që ndodhet nën shenjën e rrënjës katrore nga formula e mësipërme

${\displaystyle D=b^{2}-4ac,\,\!}$

quhet dallori i ekuacionit kuadratik. Nga dallori varet edhe natyra e zgjidhjeve të ekuacionit kuadratik kemi tre raste për shqyrtim :

• Nëse ${\displaystyle D>0}$ atëherë ekuacioni ka dy zgjidhje të ndryshme reale.

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {-b+{\sqrt {D}}}{2a}}\\x_{2}&={\frac {-b-{\sqrt {D}}}{2a}}\\\end{aligned}}}$

• Nëse ${\displaystyle D=0}$ atëherë ekuacioni ka një zgjidhje reale të dyfishtë :

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}.\,\!}$

• Nëse ${\displaystyle D<0}$ atëherë ekuacioni ka dy zgjidhje të cilat janë numra kompleks të konjuguar :

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {-b}{2a}}+i{\frac {\sqrt {|D|}}{2a}}\end{aligned}}}$ ku, ${\displaystyle {\begin{aligned}|D|\end{aligned}}}$ është vlera absolute e diskriminantës dhe ${\displaystyle i}$ është ${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {-1}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}&={\frac {-b}{2a}}-i{\frac {\sqrt {|D|}}{2a}}\end{aligned}}}$

Ekuacioni ${\displaystyle 7x+15-2x^{2}=\ 0}$ e ka diskriminantën pozitive ${\displaystyle D\ =169}$ prandaj ai ka dy zgjidhje reale të ndryshme :

${\displaystyle x_{1}={\frac {-7-{\sqrt {169}}}{2\cdot (-2)}}=5}$ dhe ${\displaystyle x_{2}={\frac {-7+{\sqrt {169}}}{2\cdot (-2)}}=-{\frac {3}{2}}.}$

Ek${\displaystyle x_{2}={\frac {-3+{\sqrt {3}}i}{2}}.}$uacioni ${\displaystyle x^{2}-2x+1=\ 0}$ ka si diskriminantë ${\displaystyle D\ =0}$ prandaj ai ka një zgjidhje reale të dyfishtë :

${\displaystyle x=-{\frac {-2}{2}}=1}$

Ekuacioni ${\displaystyle x^{2}+3x+3=\ 0}$ nuk ka zgjidhje reale sepse ${\displaystyle D\ =-3<0}$ diskriminanta e tij është negative pra ky ekuacion ka dy zgjidhje të cilat janë numra kompleks të konjuguar :

${\displaystyle x_{1}={\frac {-3-{\sqrt {3}}i}{2}}}$ dhe :