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Podemos dizer que se está a produzir um comportamento em cascata dentro duma rede quando os nós que a compõem mudam de comportamento de forma que uma parte ou todos os vizinhos mudam também. Este processo continua imitando o efeito de uma cascata de água caindo dum salto no rio. Um comportamento em cascata produz-se igual que se produzem os contágios epidêmicos, mas neste caso o que se transmite não são doenças senão notícias, lendas urbanas, opiniões, informações, etc. dentro de uma rede. Trata-se do clássico marketing boca a boca transferido à internet.

Considerando o nível de resolução de uma rede social de uma maneira em que podemos ver a sua estrutura tal como se fosse um grafo, vemos como as pessoas são influenciadas pelos seus vizinhos. Muitas das nossas interações com o resto do mundo acontecem a nível local. Por exemplo, quando fazemos parte de um clube desportivo, partilhamos a nossa afeição por esse desporto e pelo seu estilo de vida. Outro caso é aquele em que adotamos posições políticas que estão alinhadas com as dos nossos amigos, mesmo que estas sejam nacionalmente uma minoria.

A difusão de inovações (como se muda de comportamento) Chamamos difusão de inovações o facto de como uma nova ideia, comportamento ou tecnologia se transmite através da rede social. Houve uma grande quantidade de estudos como os de Coleman, Katz e Menzel (1966) sobre a adoção da tetraciclina nos EUA, ou os de Everett Rogers (1995) que foi um dos precursores da teoria da difusão de inovações no ano 1962,^[1]. Mas foram Ryan e Gross (1943) que fizeram o primeiro estudo sobre a difusão de inovações motivada pela preocupação do estado de Iowa na lentidão da difusão das sementes híbridas. Através deste estudo, pode-se constatar que o facto de ser uma novidade e também a falta de compreensão inicial das inovações constituem impedimentos no instante da adoção, no entanto, quem adota ao começo tem grandes benefícios. Estes adotantes iniciais tinham uma característica importante, podiam viajam e observar o que outros "vizinhos" estavam a fazer em outros lugares.

Como se espalha e porque se deixa de espalhar uma inovação tem muito que ver com a sua complexidade, a sua observabilidade, os seus testes, e a sua compatibilidade geral com essa rede social. Se um grupo de funcionários em uma organização adota uma nova aplicação informática o resto de funcionários com quem interage têm de mudar também para manter a compatibilidade.

Em qualquer rede, existem dois equilíbrios óbvios. Por um lado há um em que todas as pessoas, as quais chamaremos a partir de agora nós, adotam um comportamento A (uma ideia, uma informação, etc.) ,e , por outro lado em que todos adotam um comportamento B. Mas há outros equilíbrios "intermediários", ou estados de convivência, onde o comportamento A é adotado em algumas partes da rede e o B é adotado em outras. Podemos considerar o estado inicial da rede como aquele em que todos os nós usam B como comportamento inicial. Então, um pequeno conjunto de "adotantes iniciais" decide mudar para A, enquanto os outros nós continuam com o comportamento B. Uma vez que os "adotantes iniciais" já estão usando A, alguns de seus vizinhos mais perto desse modo, podem decidir mudar para A, e então, alguns outros novos vizinhos destes segundos adotantes podem também mudar e assim por diante. O processo detém-se quando todos os nós mudaram para A ou quando chegamos a uma etapa em que nenhum nó quer mudar, neste ponto as coisas estabilizaram-se na coexistência entre A e B.

Para saber quando um nó com vizinho de comportamento B vai mudar ou não para A, temos de considerar o seguinte: Raciocinemos que cada comportamento, neste caso A e B, tem um certo valor que não é outra coisa que o benefício de adotar o citado comportamento. Pensemos num nó concreto que chamaremos V, a pergunta que se planea V é, tenho vizinhos que se comportam como A e tenho vizinhos que se comportam como B, que devo fazer, para maximizar o meu benefício? De o total de vizinhos (1) de V, uma parte p tem o comportamento A (azul), e a outra parte (1-p) têm o comportamento B (vermelho), se V tem d vizinhos, então a parte pd adota A e a parte (1-p)d adota B, (ver Figura 1). Portanto, se V escolhe A, receberá um benefício de pda, mas se V escolhe B, então receberá um benefício de (1-p) db.

Assim, A será a melhor escolha se,

${\displaystyle p*d*a=>(1-p)*d*b\,,}$

Pondo p em evidência obtemos:

${\displaystyle p=>{\frac {b}{a+b}}\,,}$

O termo da direita da equação denota-se com q,

${\displaystyle q={\frac {b}{a+b}}\,,}$

Onde q é a Regra Limiar. Diz-se então que, se pelo menos uma fração q=b/(a+b) dos seus vizinhos segue o comportamento de A, então V deve também seguir A. Desta forma, podemos saber em cada momento qual é o comportamento que segue cada nó em cada instante. Esta mudança de comportamento vai depender da estrutura da rede, da escolha de adotantes iniciais, e do valor de q (Regra Limiar) que os nós utilizam para decidir se mudar para A, isto é, os benefícios.

Agora consideremos um subconjunto de adotantes iniciais que começam com um novo comportamento A dentro da rede, enquanto os outros nós começam com comportamento B. Então, avaliamos repetidamente a decisão de mudar de B para A, utilizando a Regra Limiar q. Se a cascata resultante da adoção de A faz com que cada nó passe de B para A, então dizemos que o conjunto de adotantes iniciais provoca uma cascata completa no limite q, caso contrário a cascata será incompleta. O processo de comportamento em cascata de A é capaz de se espalhar num conjunto de nós sempre que haja suficiente densidade de conectividade interna, mas não será capaz de abranger toda a rede sempre e quando a densidade diminua. Um exemplo podem ser os diferentes pontos de vista dos fumadores e dos não-fumadores em comunidades adjacentes ou como os diferentes estilos de filmes, para crianças ou adolescentes ocupam as salas de cinema. Trata-se de grupos de grande coesão que têm opiniões comuns. Mas existem algumas tácticas que podem ser úteis quando dois comportamentos competem. Vejamos um exemplo: Tratando-se de duas empresas o que uma pode fazer para ultrapassar a outra é elevar a qualidade de seu produto ligeiramente, ou baixar o preço de venda, isso equivale a mudar a recompensa. A Regra Limiar resultante, beneficia à dita empresa, fazendo com que o equilíbrio quebre em seu favor e o seu comportamento avance. Outra táctica consiste em convencer um pequeno número de pessoas-chave na parte da rede que usa B para alternar para A, a escolha dessas pessoas, basicamente a sua posição, tem de ser cuidadosa de modo a obter a cascata novamente.

• Easley, D., Kleinberg,J., Networks, Crowds, and Markets: Reasoning about a Highly Connected World, Cambridge University Press, 2010.

• Mining Large Graphs. Jure Leskovec and Christos Faloutsos

• Everett M. Rogers and Diffusion of Innovations

• Cascading Behavior in Networks: Algorithmic and Economic Issues.

• Diffusion and Cascading Behavior in Random Networks, Marc Lelarge