Esponja de Menger

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Esponja Menger fractal em matemática é uma curva universal. Na medida em que tem uma dimensão topológica, e qualquer outra curva (mais precisamente: qualquer espaço métrico compacto topológico de dimensão 1), é homeomórfica para alguns subconjuntos dele. Às vezes é chamado de esponja de Sierpinski-Menger ou esponja de Sierpinski. É uma extensão tridimensional do conjunto de Cantor e "carpete" de Sierpinski. Foi descrita pela primeira vez pelo matemático austríaco Karl Menger, em 1926, enquanto explorando o conceito de dimensão topológica.

Construção de uma esponja Menger pode ser visualizada como segue:

1. Comece com um cubo, primeira imagem;
2. Divida cada face do cubo em 9 quadrados. Tal sub-dividir o cubo em 27 cubos pequenos, como um Cubo de Rubik;
3. Remova o cubo no meio de cada face, e remover o cubo no centro, deixando 20 cubos (segunda imagem). Esta é uma esponja Menger Nível 1;
4. Repita os passos 1-3 para cada um dos restantes pequenos cubos.

A segunda repetição lhe dará uma esponja Nível 2 (terceira imagem), o terceiro uma esponja Nível 3 (quarta imagem), e assim por diante. A esponja Menger si é o limite deste processo depois de um número infinito de iterações.

O número de cubos aumenta 20ⁿ, com n sendo o número de iterações realizadas no primeiro cubo:

No primeiro nível, não são realizadas iterações, (20⁰ = 1).

Cada face da esponja Menger-Sierpinski é um tapete. Além disso, a intersecção da esponja Menger com uma diagonal ou médio inicial do cubo ${\displaystyle M_{0}}$ é um conjunto de Cantor.

A esponja Menger é um conjunto fechado; uma vez que também é limitada, o teorema de Heine-Borel implica que é compacta. Além disso, a esponja Menger é incontável e tem medida de Lebesgue 0.

A dimensão do topológica é uma esponja Menger, da mesma forma que qualquer curva. Menger apresentaram, em 1926 a construção, que a esponja é uma curva universal, em que qualquer possível uma curva-dimensional é homeomórfica a um subconjunto da esponja Menger, quando aqui uma curva, qualquer compacta métrica espaço de Lebesgue cobrindo uma dimensão; este inclui árvores e gráficos com um número arbitrário contável de arestas, vértices e os circuitos fechados, conectados em formas arbitrárias.

De um modo semelhante, o carpete Sierpinski é uma curva universal para todas as curvas que podem ser tiradas sobre o plano bidimensional. A esponja Menger construídos em três dimensões estende esta ideia de gráficos que não são planas, e podem ser incorporados em qualquer número de dimensões. Assim, qualquer geometria da malha gravidade quântica pode ser embutido em uma esponja Menger.

Curiosamente, o volume da esponja Menger tende a zero e simultaneamente a superfície tente ao infinito.

A esponja tem uma dimensão de Hausdorff ${\displaystyle {\frac {\log 20}{\log 3}}\approx 2,726833}$.

Formalmente, uma esponja de Menger pode ser definida como segue.

$${\displaystyle M:=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }M_{n}}$$

onde ${\displaystyle M_{0}}$ é o cubo unitário e

${\displaystyle M_{n+1}:=\left\{{\begin{matrix}(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:&{\begin{matrix}\exists i,j,k\in \{0,1,2\}:(3x-i,3y-j,3z-k)\in M_{n}\\{\mbox{e no máximo um dos }}i,j,k{\mbox{ é igual a 1}}\end{matrix}}\end{matrix}}\right\}.}$

• Karl Menger, General Spaces and Cartesian Spaces, (1926) Communications to the Amsterdam Academy of Sciences. English translation reprinted in Classics on Fractals, Gerald A.Edgar, editor, Addison-Wesley (1993) ISBN 0-201-58701-7
• Karl Menger, Dimensionstheorie, (1928) B.G Teubner Publishers, Leipzig.

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• «Uma esponja de Menger interactiva»