Przejdź do zawartości

Liczby jedynkowe

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Liczba jedynkowa[1] (ang. repunit[2]) – w rekreacyjnej teorii liczb, liczba naturalna, której zapis dziesiętny składa się z samych jedynek[1][3]. Liczby jedynkowe spopularyzował (oraz wprowadził angielską nazwę repunit) Albert Beiler w książce Recreations in the Theory of Numbers[2]. Początkowe liczby jedynkowe to

1, 11, 111, 1111, 11111, 111111 (ciąg publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać A002275 w OEIS).

Alternatywnie -tą liczbę jedynkową można zdefiniować jako sumę początkowych potęg dziesiątki[3]:

.

Kwadratem -tej liczby jedynkowej jest -ta liczba Demlo (ciąg publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać A002477 w OEIS)[3].

Własności[1]

[edytuj | edytuj kod]
  • Liczba jest dzielnikiem liczby wtedy i tylko wtedy, gdy .
  • Największym wspólnym dzielnikiem liczb i jest , gdzie . Liczby i względnie pierwsze wtedy i tylko wtedy, gdy względnie pierwsze są liczby i .
  • Jeśli jest liczbą pierwszą, to również. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Kontrprzykład stanowi m.in. .
  • Liczba pierwsza jest dzielnikiem liczby . Jest to wniosek z małego twierdzenia Fermata.
  • Każda liczba naturalna niepodzielna przez 2 i przez 5 ma wielokrotność będącą liczbą jedynkową.
  • Nie wiadomo, czy liczba jedynkowa może być -tą potęgą liczby naturalnej dla . Udowodniono, że to niemożliwe dla . Problem dla pozostaje nierozstrzygnięty.

Liczby pierwsze jedynkowe

[edytuj | edytuj kod]

Znajdowanie dużych liczb pierwszych jedynkowych, podobnie jak faktoryzacja dużych liczb jedynkowych, nie jest proste. Pomocne bywają metody podobne do tych stosowanych dla liczb Mersenne’a[2]. Początkowe liczby pierwsze jedynkowe to

, , , , , (ciąg publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać A004023 w OEIS).

W 1998 roku Torbjörn Granlund sprawdził komputerowo wszystkie liczby dla w poszukiwaniu liczb prawdopodobnie pierwszych. Obliczenia zajęły łącznie dwa miesiące czasu procesora. Poszukiwania rozszerzył w 1999 roku Dubner, znajdując prawdopodobnie pierwszą liczbę . Od tego czasu poznano co najmniej pięć nowych prawdopodobnie pierwszych liczb jedynkowych[4].

Do 2022 roku liczba była największą liczbą jedynkową, o której było wiadomo, że na pewno jest pierwsza (dowód przeprowadzili Williams i Dubner w 1986 roku)[4]. W 2022 roku Paul Underwood, wykorzystując test pierwszości oparty na krzywych eliptycznych, wykazał, że liczba jest pierwsza. Wygenerowanie certyfikatu pierwszości wymagało 20 miesięcy obliczeń na 64-rdzeniowym procesorze AMD 3990x, a sama jego weryfikacja – 13 godzin[4][5].

Liczby jedynkowe w różnych systemach pozycyjnych

[edytuj | edytuj kod]

Liczby jedynkowe można uogólnić na dowolny system pozycyjny o podstawie . Wówczas -tą liczbą jedynkową jest[1]

.

Gdy , -tą liczbą jedynkową jest -ta liczba Mersenne’a[3].

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. a b c d Witold Bednarek, Szkice o liczbach, funkcjach i figurach, Oficyna wydawnicza Tutor, 2003, s. 29-32, ISBN 978-83-86007-87-5 (pol.).
  2. a b c Albert H. Beiler, Recreations in the Theory of Numbers, 1964, s. 83, ISBN 978-0-486-21096-4 (ang.).
  3. a b c d Eric W. Weisstein, Repunit [online], Wolfram MathWorld [dostęp 2024-02-20] (ang.).
  4. a b c Eric W. Weisstein, Repunit Prime [online], Wolfram MathWorld [dostęp 2024-02-20] (ang.).
  5. Paul Underwood, R49081 is prime! [online], Mersenne Forum, 21 marca 2022 [dostęp 2024-02-20] (ang.).