Thoralf Skolem

Thoralf Skolem
Skolem på 1930-tallet
Født		Thoralf Albert Skolem 23. mai 1887[1][2][3][4] Sandsvær kommune[5]
Død		23. mars 1963[1][2][6][3] (75 år) Oslo
Beskjeftigelse		Matematiker, filosof, universitetslærer
Utdannet ved		Universitetet i Oslo (1905–1909)[5]
Doktorgrads- veileder		Axel Thue[7]
Nasjonalitet		Norge
Utmerkelser		Fridtjof Nansens belønning for fremragende forskning, matematisk-naturvitenskaplig klasse (1938) Gunnerusmedaljen (1962) Ridder av 1. klasse av St. Olavs Orden (1954)[5]
Arbeidssted		Universitetet i Oslo (1916–1930)[5] Chr. Michelsens Institutt (1930–1938)[5] Universitetet i Oslo (1938–1957)[5]
Fagfelt		Matematisk logikk, modellteori, mengdelære, abstrakt algebra
Doktorgrads- studenter		Øystein Ore (1924)[8]
Kjent for		7 oppføringer Skolem normal form Löwenheim–Skolem theorem Skolem's paradox Skolem–Noether theorem Skolem arithmetic Skolem problem Skolem–Mahler–Lech theorem
Thoralf Skolem på Commons

Thoralf Albert Skolem (født 23. mai 1887, død 23. mars 1963) var en norsk matematiker som var professor ved Universitetet i Oslo.

Skolem leverte viktige bidrag til matematisk logikk, mengdelære, tallteori, algebra og kombinatorikk, men han er mest kjent for sitt arbeide med matematisk logikk. Han regnes også som en av de sentrale teoretikerne innenfor metamatematikk, som er nært knyttet til matematisk logikk.

Skolem ble født i Sandsvær i Buskerud, hvor faren var lærer. I 1905 tok han artium, og like etterpå begynte han å studere matematikk ved Universitetet i Oslo. I 1913 fikk han sin grad i matematikk med hovedoppgaven Undersøkelser innenfor logikkens algebra. Denne avhandlingen ga ham karakteren 1.0, som var den absolutt beste karakteren på den tiden. Denne prestasjonen var så bemerkelsesverdig at den ble rapportert til kongen.

Senere ble Skolem assistent for den kjente fysikeren Kristian Birkeland, og de første vitenskapelige publikasjonene sine skrev han sammen med Birkeland.

Skoleåret 1915-1916 studerte Skolem ved Universitetet i Göttingen. Göttingen representerte det fremste forskningssenteret innen matematisk logikk, metamatematikk og abstrakt algebra på den tiden. Tiden i Göttingen hadde nok stor innflytelse på Skolem, og han ble selv en anerkjent teoretiker innenfor disse tre feltene. På den tiden Skolem var i Göttingen var blant andre David Hilbert professor her, og etter at Felix Klein hadde fått sving på forskningssenteret på slutten av 1800-tallet hadde flere store matematikere arbeidet der.

Etter oppholdet i Tyskland, vendte Skolem tilbake til Universitetet i Oslo, og i 1918 fikk han en nyopprettet stilling som dosent i matematikk der.

I studietiden hadde Skolem og Viggo Brun blitt enige om at ingen av dem skulle ta seg bryet med å ta en doktorgrad i matematikk. I 1920-årene vokste det derimot fram en ny generasjon av norske matematikere, og det var sannsynligvis som resultat av dette at Skolem fant ut at en doktorgrad likevel var bryet verd. I 1926 tok han da endelig sin doktorgrad, i en alder av 40 år. Tittelen på avhandlingen var Einige Sätze über ganzzahlige Lösungen gewisser Gleichungen und Ungleichungen. Året etter giftet han seg med Edith Wilhelmine Hasvold.

Skolem jobbet ved Chr. Michelsens Institutt 1930–1938. Deretter var han professor ved Universitetet i Oslo mellom 1938 og 1958. Han ledet også Norsk matematisk forening, var redaktør for Norsk matematisk tidsskrift og en av grunnleggerne av tidsskriftet Mathematica Scandinavica i 1953.

I 1957 gikk han av med pensjon, men han forble aktiv helt fram til han brått døde i 1963. I de siste årene før sin død var han på flere besøk til USA, hvor han holdt forelesninger ved en rekke universiteter.

Skolem publiserte en rekke betydningsfulle artikler om emner som diofantiske ligninger, gruppeteori og matematisk logikk. En av de viktigste setningene i matematisk logikk, Löwenheim-Skolems setning, er oppkalt etter ham. Denne setningen retter seg mot en del av matematikkens grunnlag, og den sier noe forenklet at alle teorier som har en modell også har en tellbar modell. Setningen er sentral innenfor såkalt modellteori, hvor Skolem regnes som en av grunnleggerne.

Skolem leverte også viktige bidrag til det teoretiske grunnlaget for mengdelæren, hvor han blant annet utvidet og forbedret Zermelos aksiomer for mengdelære. Han viste også at en konsekvens av Löwenheim-Skolems setning er det som kalles for Skolems paradoks: Hvis Zermelos aksiomer er konsistente, så må de kunne tilfredsstilles innenfor et tellbart område, selv om de beviser eksistensen av ikke-tellbare mengder.

Læren om uendelighet er sentral i mengdelæren, og Georg Cantor viste at uendelige mengder kan ha forskjellige størrelser. Skolem hadde liten tiltro til den rådende oppfatningen av uendelighetsbegrepet, og han ble en av grunnleggerne av teorien om endelighet i matematikken. Dette er en ekstrem form for konstruktivisme, som dreier seg om at et matematisk objekt kun eksisterer hvis det kan konstrueres av de naturlige tallene i et endelig antall steg.

Skolem var medlem av Vitenskapsakademiet i Oslo helt fra 1918, og han mottok flere utmerkelser for sine resultater i matematikken. I 1954 ble han utnevnt til ridder av 1. klasse av St. Olavs orden. I 1962 fikk han Gunnerusmedaljen av Det Kongelige Norske Videnskabers Selskab.

De fleste av de nærmere 200 vitenskapelige artiklene til Skolem ble publisert i norske tidsskrifter. I starten var han ikke så kjent internasjonalt, og dette har nok med at han i så stor grad publiserte på norsk. Etterhvert fikk han derimot stor internasjonal anerkjennelse, og han regnes i dag som en av de største logikerne i det 20. århundre.

Ved Universitetet i Oslo har man siden 1987 holdt Skolemforelesninger (Skolem lectures) der en kjent utenlandsk logiker holder en tale.^[9][10]

• Untersuchungen über die Axiome des Klassenkalküls und über die Produktations- und Summationsprobleme, welche gewissen Klassen von Aussagen betreffen, 1919
• Logisch-kombinatorische Untersuchungen über die Erfüllbarkeit und Beweisbarkeit mathematischer Sätze nebst einem Theorem über dichte Mengen, 1920
• Skolem, Th. (1921). Untersuchungen über die möglichen Verteilungen ganzzahlinger Lösungen gewisser Gleichungen. Kristiania: I kommission hos Dybwad. 
• Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begründung der Mengenlehre, 1922-1923
• Begründung der elementaren Arithmetik durch die rekurrierende Denkweise ohne Anwendung scheinbarer Veränderlicher mit unendlichem Ausdehnungsbereich, 1923
• Über einige Grundlagenfragen der Mathematik, 1929
• Über die Grundlagendiskussion in der Mathematik, 1929-1930
• Über einige Satzfunktionen in der Arithmetik, 1930-1931
• Den matematiske logikk og aritmetikken, 1931
• Über die Unmöglichkeit einer vollständigen Charakterisierung der Zahlenreihe mittels eines endlichen Axiomensystems, 1933
• Undersøkelser over potensrester og over logisk karakterisering av tallrekken, 1933
• Über die Nicht-Charakterisierbarkeit der Zahlenreihe mittels eines endlich oder abzählbar unendlich vieler Aussagen mit ausschließlich Zahlenvariablen, 1934
• En metode til behandling av ubestemte ligninger, 1934
• Über die Erfüllbarkeit gewisser Zählausdrücke, 1935
• Über die Zurückführbarkeit einiger durch Rekursionen definierten Relationen auf 'arithmetische' , 1936-1937
• Ubestemte lineære ligninger og ligningssystemer, 1937
• Sur la porteé de Löwenheim-Skolem, 1938
• Polynomers aritmetiske egenskaper, 1938
• Einige Bemerkungen über die Induktionsschemata in der rekursiven Zahlentheorie, 1939
• Some remarks on recursive arithmetic, 1944
• Skolem, Th. (1947). Tallteori: referat av professor Skolems forelesninger våren 1947. Oslo: Skrivemaskinstua, UiO, Mat.Inst. 
• Consideraciones sobre los fundamentos de la matematica, 1952
• Abstract set theory, 1962. Forelesningsserie ved University of Notre Dame som Skolem holdt 1957–58
• Selected Works in Logic, 1970. Universitetsforlaget, Oslo. Dette er en nesten fullstendig antologi redigert av Jens Erik Fenstad, med en lengre innledning av Hao Wang.

• MacTutor: Thoralf Skolem. (engelsk)
• Fenstad, Jens Erik (1996) «Thoralf Albert Skolem 1887-1963: A Biographical Sketch,» Nordic Journal of Philosophical Logic 1: 99-106.
• Baas, Nils A. (2000) Norsk matematikk – stolte tradisjoner. Gunnerusforelesning i Det Kongelig Norske Videnskabers Selskab.
• Thoralf Skolem hos Mathematics Genealogy Project