Differensiell flategeometri

Differensiell flategeometri er den delen av geometrien som omhandler bestemmelse av lengder og areal på krumme flater. Historisk var det vanlig å betrakte en slik generell flate liggende i et euklidsk rom. De geometriske egenskapene til dette rommet gjør det da mulig å finne de tilsvarende egenskapene til flaten. På den måten vil en kurve i flaten kunne betraktes som en romkurve og benyttes til å undersøke flatens krumning.

Fra tidlig astronomi var det kjent hvordan man kunne konstruere en sfærisk geometri på en kuleflate. Rette linjer tilsvarer her storsirkler. Alle slike linjer vil derfor skjære hverandre og dermed ikke oppfylle parallellaksiomet. Denne flaten er symmetrisk og har konstant krumning. Hvordan man i det hele tatt kunne lage en tilsvarende geometri på en vilkårlig flate, var høyst usikkert.

Beskrivelsen av krumme flater ble grundig forbedret rundt 1825 da Carl Friedrich Gauss viste at de intrinsikke egenskapene til flaten kunne bestemmes kun ved målinger i selve flaten slik at de dermed var uavhengig av hvordan flaten plasseres i et ytre rom. Denne innsikten dannet grunnlaget for moderne, differensiell flategeometri. Noen tiår senere kunne Bernhard Riemann utvide betraktningsmåten til Gauss til å gjelde for mangfoldigheter med dimensjon større enn de to som en flate har. Dette åpnet opp for en systematiske utforskning av «krumme rom» som senere skulle bli det matematiske grunnlaget for Einsteins generelle relativitetsteori.

Avbilder man en endelig del av det todimensjonale planet E² på det tredimensjonale, euklidske rommet E³, får man en flate i dette rommet. Hvis den aktuelle delen av planet har de kartesiske koordinatene (u,v), kan denne avbildningen gis ved posisjonsvektoren

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (u,v)=x^{k}(u,v)\mathbf {e} _{k}}$

for hvert punkt på flaten i E³ når man benytter Einsteins summekonvensjon og summerer over like, latinske indekser fra 1 til 3. Her er e_i  de kartesiske basisvektorene med det vanlige indreproduktet

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij}}$

uttrykt ved Kronecker-symbolet δ_ij. For hver verdi av de to koordinatene (u,v) vil de tre funksjonene x^k(u,v)  gi et bestemt punkt på flaten. Det er derfor naturlig å kalle (u,v) for «de intrinsikke koordinatene» til flaten. Holder man v konstant og lar u variere, vil r(u,v) beskrive en kurve i flaten som det er naturlig å kalle en u-koordinatline. Omvendt vil denne vektoren beskrive en v-koordinatlinje når u holdes konstant og v varierer. Gjennom hvert punkt på flaten går det derfor to koordinatlinjer, hver min sin tangentvektor

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\partial \mathbf {r} \over \partial u},\;\;\;\mathbf {e} _{2}={\partial \mathbf {r} \over \partial v}}$

I hvert slikt punkt danner disse et lokalt plan som er «tangentplanet» til flaten i dette punktet.^[1]

De to koordinatene u og v kan betraktes som krumlinjete koordinater x^μ = (u,v)  på flaten hvor greske indekser bare tar de to verdiene 1 og 2. En plan kurve i u = u(λ), v = v(λ) i E² vil nå avbildes på en kurve r(λ) = r(u(λ),v(λ)) på flaten med tangentvektor^[2]

${\displaystyle {d\mathbf {r} \over d\lambda }={\partial \mathbf {r} \over \partial x^{\mu }}{dx^{\mu } \over d\lambda }={dx^{\mu } \over d\lambda }\mathbf {e} _{\mu }}$

hvor nå

${\displaystyle \mathbf {e} _{\mu }={\partial \mathbf {r} \over \partial x^{\mu }}}$

kan betraktes som basisvektorer på flaten og dx^μ/dλ er de to komponentene til kurvens tangentvektor i denne basisen. Den kvadrerte lengden av denne vektoren er

${\displaystyle \left|{d\mathbf {r} \over d\lambda }\right|^{2}={dx^{\mu } \over d\lambda }{dx^{\nu } \over d\lambda }\mathbf {e} _{\mu }\cdot \mathbf {e} _{\nu }={dx^{\mu } \over d\lambda }{dx^{\nu } \over d\lambda }g_{\mu \nu }}$

hvor

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\mathbf {e} _{\mu }\cdot \mathbf {e} _{\nu }}$

er den metriske tensor på flaten. Den definerer et indreprodukt mellom vektorer i samme tangentplan. Lengden av de to basisvektorene kan derfor uttrykkes ved to av de metriske komponentene som

${\displaystyle \left|\mathbf {e} _{1}\right|={\sqrt {g_{11}}},\;\;\;\left|\mathbf {e} _{2}\right|={\sqrt {g_{22}}}}$

og likedan vinkelen θ₁₂  mellom dem ved den tredje komponenten,

${\displaystyle \cos \theta _{12}={g_{12} \over {\sqrt {g_{11}g_{22}}}}}$

Fra definisjonen følger at den metriske tensoren er symmetrisk slik at g_μν = g_νμ og den inneholder derfor bare tre uavhengige størrelser. Når g₁₂ = 0  skjærer koordinatlinjene hverandre vinkelrett og metrikken sies å være «diagonal» fordi den tilsvarende matrisen (g_μν)  er diagonal.

Lengden til en kurve r(λ) på flaten er gitt ved det kvadrerte, differensielle buelengden

${\displaystyle ds^{2}=d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} =g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}$

Går kurven gjennom to punkt A og B på flaten, vil lengden av kurven mellom disse to punktene være gitt ved integarlet

${\displaystyle L=\int _{A}^{B}\!ds=\int _{A}^{B}\!{\sqrt {g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}d\lambda }$

hvor ${\displaystyle {\dot {x}}^{\mu }=dx^{\mu }/d\lambda }$. Hvis man i stedet beskrev kurven med parameteren λ' = f (λ) hvor f er en glatt funksjon, ser man at integralet er uforandret. Lengden av kurven har en absolutt verdi, uavhengig av parametriseringen.

Ofte blir notasjonen E = g₁₁, F = g₁₂ og G = g₂₂ benyttet og kalt for «fundamentalstørrelsene av første orden».^[1] Linjeelementet tar da formen

${\displaystyle ds^{2}=E(u,v)du^{2}+2F(u,v)dudv+G(u,v)dv^{2}}$

etter å ha utført summasjonen over de like indeksene og omtales som «den første, fundamentale formen» til flaten.

En geodetisk kurve forbinder to punkt slik at avstanden mellom dem målt langs kurven er minst mulig. Den tilsvarer en rett linje i det euklidske rommet. På en flate finnes en slik kurve ved å minimalisere lengdeintegralet L. Det kan gjøres ved variasjonsregning som leder til Euler-Lagrange-ligningen. I dette tilfelle er den

${\displaystyle {d \over d\lambda }{\partial \over \partial {\dot {x}}^{\alpha }}{\sqrt {g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}={\partial \over \partial x^{\alpha }}{\sqrt {g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}$

Utregningen her blir spesielt enkel når man velger den naturlige parametriseringen gitt ved kurvens egen buelengde s. Da kan man sette ${\displaystyle g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }=1}$ etter å ha utført derivasjonene. Det gir differensialligningen

${\displaystyle {d^{2}x^{\alpha } \over ds^{2}}+\Gamma _{\;\mu \nu }^{\alpha }{dx^{\mu } \over ds}{dx^{\nu } \over ds}=0}$

som kalles den «geodetiske ligningen». Her er

${\displaystyle \Gamma _{\;\mu \nu }^{\alpha }={1 \over 2}g^{\alpha \beta }{\Big (}{\partial g_{\beta \mu } \over \partial x^{\nu }}+{\partial g_{\beta \nu } \over \partial x^{\mu }}-{\partial g_{\mu \nu } \over \partial x^{\beta }}{\Big )}}$

Christoffel-symbolet av andre type hvor g^αβ  er den inverse matrisen til g_αβ. Dette symbolet som ikke er noen tensor, opptrer ofte i forbindelse med bruk av krumlinjete koordinater.

Det differensielle arealet til et lite parallellogram i tangentplanet til flaten definert ved vektorene e₁du  og e₂dv  er

${\displaystyle dA=|\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}|dudv}$

Nå er

${\displaystyle (\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2})^{2}=(\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {e} _{1})(\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {e} _{2})-(\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {e} _{2})^{2}=g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}$

som er determinanten g = det(g_μν)  til matrisen for den metriske tensoren. Flateelementet kan da skrives på den enklere formen

${\displaystyle dA={\sqrt {g}}\,dudv={\sqrt {EG-F^{2}}}dudv}$

Arealet til et endelig stykke av flaten kan herav finnes ved integrasjon.

Vektorproduktet e₁ × e₂ som opptrer her, er en vektor normal til tangentplanet og derfor også vinkelrett på flaten. Vanligvis defineres den å ha lengde lik med 1 slik at den kan skrives som

${\displaystyle \mathbf {N} ={\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2} \over |\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}|}}$

Dette er flatens normalvektor som tilfredsstiller N⋅N = 1 sammen med N⋅e₁ = N⋅e₂ = 0.

Den enkleste parametrisering av en flate i E³ er gitt ved avbildningen z = f(x,y). Da kalles den ofte for en «Monge-flate» og kan også være en del av en større flate. De to koordinatene i flaten kan da tas å være u = x og v = y slik at posisjonsvektoren til et punkt på den er

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=u\mathbf {e} _{x}+v\mathbf {e} _{y}+(au^{2}+bv^{2})\mathbf {e} _{z}}$

Enkel derivasjon gir da de intrinsikke basisvektorene

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\partial \mathbf {x} \over \partial u}=\mathbf {e} _{x}+f_{u}\mathbf {e} _{z}}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{2}={\partial \mathbf {x} \over \partial v}=\mathbf {e} _{y}+f_{v}\mathbf {e} _{z}}$

hvor f_u  og f_v   står for den partiellderiverte med hensyn på henholdsvis u og v. De metriske komponentene blir dermed

${\displaystyle g_{11}=E=\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {e} _{1}=1+f_{u}^{2}}$

${\displaystyle g_{12}=F=\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {e} _{2}=f_{u}f_{v}}$

${\displaystyle g_{22}=G=\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {e} _{2}=1+f_{v}^{2}}$

Som en illustrasjon kan man ta paraboloiden definert ved z = ax² + by². Om den skal være elliptisk eller hyperbolsk, avhenger av det relative fortegnet mellom parametrene a og b. Det kvadratiske linjeelementet på denne flaten er dermed

${\displaystyle ds^{2}=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} =g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=(1+4a^{2}u^{2})du^{2}+8abuv\,dudv+(1+4b^{2}v^{2})dv^{2},}$

mens arealet er gitt ved dobbelintegralet

${\displaystyle A=\int \!du\int \!dv{\sqrt {1+4a^{2}u^{2}+4b^{2}v^{2}}}}$

Dette er derfor det samme på en elliptisk paraboloide som på en hyperbolsk paraboloide.

Et vektorfelt A(x) i det tredimensjonale rommet E³ vil ved avbildningen x^k = x^k(u,v) gi et vektorfelt A(x) = A^μ(x) e_μ  på flaten hvor x nå står for koordinatene x^μ = (u,v)  på flaten. Forandringen av dette feltet langs kurven r(λ) = r(u(λ),v(λ)) i flaten er gitt ved den deriverte^[3]

${\displaystyle {d\mathbf {A} \over d\lambda }={dA^{\mu } \over d\lambda }\mathbf {e} _{\mu }+A^{\mu }{d\mathbf {e} _{\mu } \over d\lambda }}$

I det første leddet

${\displaystyle {dA^{\mu } \over d\lambda }={\partial A^{\mu } \over \partial x^{\nu }}{dx^{\nu } \over d\lambda }}$

inngår dx^μ/dλ  som utgjør komponentene til kurvens tangentvektor v = d r/dλ. Det andre leddet fremkommer fordi basisvektorene på flaten forandrer seg fra sted til sted. Her blir på samme måte

${\displaystyle {d\mathbf {e} _{\mu } \over d\lambda }=\mathbf {e} _{\mu \nu }{dx^{\nu } \over d\lambda }}$

hvor nå

${\displaystyle \mathbf {e} _{\mu \nu }={\partial \mathbf {e} _{\mu } \over \partial x^{\nu }}={\partial ^{2}\mathbf {r} \over \partial x^{\mu }\partial x^{\nu }}=\mathbf {e} _{\nu \mu }}$

Denne symmetriske størrelsen er i alminnelighet en vektor i det tredimensjonale rommet E³. Den kan derfor splittes opp i en del som ligger i flaten og den gjenværende delen langs normalen N til flaten. Derfor kan man skrive^[1]

${\displaystyle \mathbf {e} _{\mu \nu }=\mathbf {e} _{\alpha }\Gamma _{\;\mu \nu }^{\alpha }+\mathbf {N} b_{\mu \nu }}$

siden det vil vise seg at i den første delen opptrer Christoffel-symbolet Γ^α_μν  på denne måten. Da e_μν  er symmetrisk, er også dette symbolet og den nye størrelsen _bμν  symmetrisk i de samme to indeksene. Dens komponenter blir ofte skrevet som b₁₁ = L, b₁₂ = M og b₂₂ = N  og kalt for «fundamentalstørrelsene av andre orden».

Av dette følger at den deriverte dA/dλ er en ny vektor med komponenter både parallelt og normalt på flaten. Den delen som ligger i flaten, kalles den kovariant deriverte av vektoren langs tangentvektoren v,

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}_{\mathbf {v} }\mathbf {A} =\left.{d\mathbf {A} \over d\lambda }\right|_{in}=\left({\partial A^{\mu } \over \partial x^{\nu }}+A^{\alpha }\Gamma _{\;\alpha \nu }^{\mu }\right)v^{\nu }\mathbf {e} _{\mu }}$

Den kovariant deriverte av A langs basisvektoren e_β  er derfor

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}_{\beta }\mathbf {A} \equiv {\boldsymbol {\nabla }}_{\mathbf {e} _{\beta }}\mathbf {A} =\left({\partial A^{\mu } \over \partial x^{\beta }}+A^{\alpha }\Gamma _{\;\alpha \beta }^{\mu }\right)\mathbf {e} _{\mu }}$

På samme måte kan kovariante deriverte av tensorer av høyere rang finnes.

Når den kovariant deriverte av en vektor langs en kurve i flaten er null, sier man at vektoren er parallell med seg selv langs kurven. Det er i analogi med hva man mener med en parallell forflytning av en vektor i det euklidske rommet. Denne definisjonen gjør det mulig å identifisere en klasse av kurver i flaten med den spesielle egenskapen at de har tangentvektorer v = dr/dλ som er parallelle langs en og samme kurve. Ligningen for disse er derfor

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}_{\mathbf {v} }\mathbf {v} =0}$

Utskrevet på komponentform gir det differensialligningen

${\displaystyle {d^{2}x^{\mu } \over d\lambda ^{2}}+\Gamma _{\;\alpha \beta }^{\mu }{dx^{\alpha } \over d\lambda }{dx^{\beta } \over d\lambda }=0}$

som sier at disse spesielle kurvene må være geodetiske. Her kan nå λ være en vilkårlig parametrisering.^[3]

Fra definisjonen g_μν = e_μ⋅e_ν  av den metriske tensoren følger ved derivasjon at

${\displaystyle {\partial g_{\mu \nu } \over \partial x^{\beta }}=\mathbf {e} _{\mu \beta }\cdot \mathbf {e} _{\nu }+\mathbf {e} _{\mu }\cdot \mathbf {e} _{\nu \beta }}$

Men nå er

${\displaystyle \mathbf {e} _{\beta }\cdot \mathbf {e} _{\mu \nu }=g_{\beta \alpha }\Gamma _{\;\mu \nu }^{\alpha }\equiv \Gamma _{\beta \mu \nu }}$

Christoffel-symbolet av første type som derfor oppfyller

${\displaystyle {\partial g_{\mu \nu } \over \partial x^{\beta }}=\Gamma _{\nu \mu \beta }+\Gamma _{\mu \nu \beta }}$

Ved å bytte om indeksene og benytte symmetrien mellom dem, kommer man dermed frem til at

${\displaystyle \Gamma _{\beta \mu \nu }={1 \over 2}{\Big (}{\partial g_{\beta \mu } \over \partial x^{\nu }}+{\partial g_{\beta \nu } \over \partial x^{\mu }}-{\partial g_{\mu \nu } \over \partial x^{\beta }}{\Big )}}$

Denne beregningen av Christoffel-symbolene gir derfor samme resultat som tidligere.

Ingen av disse konsekvensene av kovariant derivasjon avhenger av at man befinner seg på en todimensjonal flate. De kan derfor tas direkte over til å gjelde på en mangfoldighet med vilkårlig høy dimensjon og beskrevet ved riemannsk geometri. Det er en av fordelene ved å bruke kovariant notasjon og Einsteins summekonvensjon.

I utgangspunktet er det ikke klart hvordan man skal definere krumningen til en flate. Men da krumningen til en kurve kan entydig defineres og beregnes, kan man betrakte kurver i flaten. Fra deres krumning får man da også informasjon om flatens krumning.

Det er enklest å betrakte en kurve med naturlig parametrisering r = r(s) i flaten. Den har da en tangentvektor t = d r/ds og krumningsvektor^[2]

${\displaystyle \mathbf {k} ={d\mathbf {t} \over ds}=\kappa \mathbf {n} }$

Her er κ kurvens krumning, mens n er en normert vektor som står vinkelrett på tangentvektoren t. Den har i alminnelighet en komponent normalt på flaten langs normalen N og en annen i flaten langs en vektor e = N×t. Derfor kan man skrive

${\displaystyle \mathbf {k} =\kappa _{g}\mathbf {e} +\kappa _{N}\mathbf {N} }$

hvor κ_g  kalles «den geodetiske krumningen» til flaten og κ_N  for «den normale krumningen». De er forbundet ved relasjonen

${\displaystyle \kappa ^{2}=\kappa _{g}^{2}+\kappa _{N}^{2}}$

Da den opprinnelige tangentvektoren kan uttrykkes ved sine komponenter i flaten som

${\displaystyle \mathbf {t} ={dx^{\mu } \over ds}\mathbf {e} _{\mu }\,,}$

kan krumningsvektoren beregnes med resultatet

${\displaystyle \mathbf {k} ={d^{2}x^{\mu } \over ds^{2}}\mathbf {e} _{\mu }+{dx^{\mu } \over ds}{dx^{\nu } \over ds}\mathbf {e} _{\mu \nu }}$

Ved her å sette inn for e_μν, finner man for den normale krumningen

${\displaystyle \kappa _{N}=b_{\mu \nu }{dx^{\mu } \over ds}{dx^{\nu } \over ds}}$

og for den geodetiske krumingen

${\displaystyle \kappa _{g}\mathbf {e} =\left({d^{2}x^{\alpha } \over ds^{2}}+\Gamma _{\;\mu \nu }^{\alpha }{dx^{\mu } \over ds}{dx^{\nu } \over ds}\right)\mathbf {e} _{\alpha }}$

Hvis man derfor har benyttet en geodetisk kurve for å undersøke flatens krumning, så blir denne komponenten av krumningen lik med null.^[4]

Den avgjørende informasjonen om flatens krumning ligger derfor i normalkrumningen κ_N  og dermed fundamentalstørrelsene av andre orden b_μν. Dette kan mer intuitivt forstås utfra et bilde man kan ha av flaten hvor en større krumning vil medføre at normalvektoren N forandrer seg desto raskere. Denne forandringen av normalvektoren kommer til uttrykk i vektoren N_μ = ∂ N/∂x^μ. Da N⋅N = 1, må N⋅N_μ = 0. Denne nye vektoren må derfor ligge i tangentplanet slik at man kan skrive

${\displaystyle \mathbf {N} _{\mu }=-\mathbf {e} _{\nu }b_{\;\mu }^{\nu }}$

hvor komponentene b^ν_μ  foreløbig er ukjente. Men ved å derivere N⋅e_μ = 0  på samme måte, finner man

${\displaystyle \mathbf {N} _{\nu }\cdot \mathbf {e} _{\mu }+\mathbf {N} \cdot \mathbf {e} _{\mu \nu }=0}$

Her kan man gjøre bruk av at N⋅e_μν = b_μν  som til slutt gir at

${\displaystyle b_{\mu \nu }=g_{\mu \alpha }b_{\;\nu }^{\alpha }}$

som er ekvivalent med

${\displaystyle b_{\;\nu }^{\mu }=g^{\mu \alpha }b_{\alpha \nu }}$

Dermed kan disse ukjente koeffisientene også uttrykkes ved fundamentalstørrelsene av andre orden L, M og N samt de metriske komponentene E, F og G som utgjør fundamentalstørrelsene av første orden.

Normalkrumningen til flaten i et vilkårlig punkt kan skrives som

${\displaystyle \kappa _{N}=b_{\mu \nu }{dx^{\mu } \over ds}{dx^{\nu } \over ds}={Ldu^{2}+2Mdudv+Ndv^{2} \over Edu^{2}+2Fdudv+Gdv^{2}}}$

og avhenger derfor av forholdet du/dv. Dette bestemmer retningen til tangentvektoren. Ved å variere dette, kan man finne to retninger hvor normalkrumningen har et maksimum eller et minimum. Disse to verdiene kalles hovedkrumningene i punktet og tilsvarer to hovedretninger langs flaten.^[1]

Hovedkrumningene kan beregnes ved å finne ekstremalverdiene for κ_N  under betingelsen at tangentvektoren t = d r/ds  har lengde 1. Denne betingelsen kan inkluderes ved å bruke en Lagrange-multiplikator k som da tilsvarer å finne ekstremalverdiene av uttrykket

${\displaystyle F=b_{\mu \nu }t^{\mu }t^{\nu }-\kappa (g_{\mu \nu }t^{\mu }t^{\nu }-1)}$

hvor t^μ = dx^μ/ds  er komponentene til tangentvektoren. Tar man den deriverte med hensyn på denne komponenten, finner man ligningen

${\displaystyle (b_{\mu \nu }-\kappa g_{\mu \nu })t^{\nu }=0}$

Dette representerer to homogene, lineære ligninger for retningen t^μ. De har en løsning bare når determinanten til matrisen i parentesen er null. Skrives den ut, finner man den ny ligningen

${\displaystyle \kappa ^{2}g-\kappa (g_{11}b_{22}-2g_{12}b_{12}+g_{22}b_{11})+b=0}$

hvor igjen g = det(g_μν)  og b = det(b_μν). Røttene κ₁ og κ₂ til denne andregradsligningen er nå hovedkrumningene. Summen og produktet av dem kan leses direkte ut av ligningen. Dermed finner man for middelkrumningen

${\displaystyle H={1 \over 2}(\kappa _{1}+\kappa _{2})={EN-2FM+GL \over 2g},}$

mens den gaussiske krumningen er

${\displaystyle K=\kappa _{1}\kappa _{2}={b \over g}={LN-M^{2} \over EG-F^{2}}}$

Fra den samme beregningen følger nå at de to hovedretningene står vinkelrett på hverandre. De fremkommer som skjæringslinjene mellom to plan som står vinkelrett på hverandre og skjærer hverandre langs flatenormalen N. Når middelkrumningen H = 0 i alle punkt, har man med en minimalflate å gjøre. Et eksempel er en katenoide. Er derimot den gaussiske krumningen K = 0 overalt, sies flaten å være flat eller plan.

Da determinanten g > 0, bestemmes fortegnet til den gaussiske krumningen av determinanten b. Når denne er positiv, har begge hovedkrumningene samme fortegn. Et plan like over eller under flaten parallelt med tangentplanet, vil da skjære flaten i en liten ellipse. Et slikt sted på flaten med K > 0, kalles derfor for et elliptisk punkt. Et eksempel er punkt på en ellipsoide. På samme måte vil K < 0 tilsvare et hyperbolsk punkt. Der har de to hovedkrumningene motsatt fortegn, som for eksempel på en sadel. Når K = 0, er en av hovedkrumningene lik med null. Det tilsvarende punktet sies å være parabolsk som for punktene på en sylinder.

Hvis man i E³ har en plan kurve som kan skrives som z = z(r) hvor r² = x² + y² og denne roteres om z-aksen, da fremkommer en rotasjonsflate hvor hvert punkt er gitt med posisjonsvektoren

${\displaystyle \mathbf {x} (r,\phi )=r\cos \phi \,\mathbf {e} _{x}+r\sin \phi \,\mathbf {e} _{y}+z(r)\mathbf {e} _{z}}$

Basisvektorer på flaten er derfor

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\partial \mathbf {x} \over \partial r}=\cos \phi \,\mathbf {e} _{x}+\sin \phi \,\mathbf {e} _{y}+z'\mathbf {e} _{z}}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{2}={\partial \mathbf {x} \over \partial \phi }=-r\sin \phi \,\mathbf {e} _{x}+r\cos \phi \,\mathbf {e} _{y}}$

hvor z' = dz/dr. Metrikken er gitt ved linjelementet

${\displaystyle ds^{2}=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} =(1+z'^{2})dr^{2}+r^{2}d\phi ^{2}}$

slik at

${\displaystyle E=1+z'^{2},\;\;\;F=0,\;\;\;G=r^{2}.}$

som gir

${\displaystyle g=\det(g_{\mu \nu })=EG-F^{2}=r^{2}(1+z'^{2})}$

Normalen til flaten er gitt ved kryssproduktet

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}=r\mathbf {e} _{z}-rz'(\cos \phi \,\mathbf {e} _{x}+\sin \phi \,\mathbf {e} _{y})}$

som har normen

${\displaystyle |\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}|^{2}=r^{2}(1+z'^{2})}$

Dermed har man også den normerte flatenormalen N. Den andre fundamentalformen finnes ved derivasjon av basisvektorene. Det gir

${\displaystyle \mathbf {e} _{11}={\partial \mathbf {e} _{1} \over \partial r}=z''\,\mathbf {e} _{z}}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{12}={\partial \mathbf {e} _{1} \over \partial \phi }={\partial \mathbf {e} _{2} \over \partial r}=-\sin \phi \,\mathbf {e} _{x}+\cos \phi \,\mathbf {e} _{y}}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{22}={\partial \mathbf {e} _{2} \over \partial \phi }=-r\cos \phi \,\mathbf {e} _{x}-r\sin \phi \,\mathbf {e} _{y}}$

slik at

${\displaystyle b_{11}=\mathbf {N} \cdot \mathbf {e} _{11}={z'' \over (1+z'^{2})^{1/2}},\;\;\;b_{12}=\mathbf {N} \cdot \mathbf {e} _{12}=0,\;\;\;b_{22}=\mathbf {N} \cdot \mathbf {e} _{22}={rz' \over (1+z'^{2})^{1/2}}}$

som gir

${\displaystyle b=\det(b_{\mu \nu })={rz'z'' \over 1+z'^{2}}}$

Den gaussiske krumningen K = b/g  for en slik rotasjonsflate er derfor

${\displaystyle K={z'z'' \over r(1+z'^{2})^{2}}}$

Betrakter man som et eksempel paraboloiden z = Ar², har den z'  = 2Ar  og z ' ' = 2A  slik at den intrinsikke krumningen blir

${\displaystyle K={4A^{2} \over (1+4A^{2}r^{2})^{2}}}$

Dens dimensjon er den samme som for A², det vil si en invers, kvadrert lengde som alltid er tilfelle for den gaussiske krumningen.

En kuleflate kan også betraktes som en rotasjonsflate. Øvre halvkule med radius a fremkommer ved å rotere kurven ${\displaystyle z={\sqrt {a^{2}-r^{2}}}}$. Da blir

${\displaystyle z'=-{r \over (a^{2}-r^{2})^{1/2}},\;\;\;z''=-{a^{2} \over (a^{2}-r^{2})^{3/2}}}$

og med motsatt fortegn for nedre halvkule. Det gir krumningen K = 1/a²  som en skulle forvente da begge hovedkrumningene er 1/a. På denne spesielle flaten er krumningen den samme overalt. Det er spesielt og skyldes at flaten har stor symmetri.

Hovedkrumningene til flaten er gitt fra variasjonen av normalen N og er uttrykt ved koeffisientene til den andre fundamentalformen. Disse fremkommer ved å betrakte flaten utenfra i det tredimensjonale, euklidske rommet som den befinner seg og er derfor i utgangspunktet eksterne egenskaper til flaten. Men et par år etter at Gauss hadde fremlagt sin differensialgeometri for flater i 1825, kunne han vise at den gaussiske krumningen K er i virkeligheten en intrinsikk egenskap og er gitt ved den første fundamentalformen alene. Den er også uavhengig av hvordan flaten blir parametrisert og kan bestemmes ved kun å foreta målinger i flaten selv, uavhengig av hvordan den er lagt inn i det ytre rommet.

Gauss var så begeistret for denne oppdagelsen at han kalte beviset for «Theorema egregium» - det fantastiske teoremet. Ved å innføre ${\displaystyle R={\sqrt {EG-F^{2}}}}$, sier teoremet at den gaussiske krumningen er gitt som^[5]

${\displaystyle K={1 \over 2R}\left[{\partial \over \partial u}\left({F \over ER}{\partial E \over \partial v}-{1 \over R}{\partial G \over \partial u}\right)+{\partial \over \partial v}\left({2 \over R}{\partial F \over \partial u}-{1 \over R}{\partial E \over \partial v}-{F \over ER}{\partial E \over \partial u}\right)\right]}$

Dette resultatet fant Gauss mens han arbeidet for Georg III av Storbritannia som landmåler i Hannover. Fra sin oppmålinger forsøkte han herav å bestemme Jordens krumning.^[6]

En isometrisk avbildning av en flate på en annen bevarer avstanden mellom tilsvarende punkt. Teoremet sier da også at to flater som kan relateres til hverandre på denne måten, har samme gaussiske krumning i korresponderende punkt. Et enkelt eksempel er et plant papirark og en sylinder som begge har null gaussisk krumning. Denne fremkommer ved å rulle sammen arket. Da dette kan gjøres uten å rive opp papiret, er det en isometri. Derimot kan man ikke deformere et papirark til en kuleflate uten å rive opp papiret. Disse to flatene har også forskjellige, gaussiske krumninger.

Man kan sannsynliggjøre et bevis ved å benytte mer moderne metoder i differensialgeometri basert på differensielle former.^[3] Man betrakter da i E³ de tre vektorene e_a = (e₁, e₂, N)  hvor disse latinske indeksene går fra 1 til 3. Tar man den dobbelte ytrederiverte av en av disse, gir det

${\displaystyle \mathbf {d} ^{2}\mathbf {e} _{b}=\mathbf {e} _{a}(\mathbf {d} \mathbf {\Omega } _{\;b}^{a}+\mathbf {\Omega } _{\;c}^{a}\wedge \mathbf {\Omega } _{\;b}^{c})=0}$

da man er i et euklidsk rom. Her er Ω^a_b  konneksjonsformene i denne mobile basisen. Innholdet i parentesen er Riemanns krumningsform R^a_b  i dette rommet og må være identisk null. Tar man komponentene av denne langs flaten hvor indeksene blir greske, har man derfor

${\displaystyle \mathbf {d} \mathbf {\Omega } _{\;\nu }^{\mu }+\mathbf {\Omega } _{\;\lambda }^{\mu }\wedge \mathbf {\Omega } _{\;\nu }^{\lambda }=-\mathbf {\Omega } _{\;3}^{\mu }\wedge \mathbf {\Omega } _{\;\nu }^{3}}$

På venstre side står nå Riemanns krumningsform R^μ_ν  på flaten. Den differensielle 2-formen på høyre side kan uttrykkes ved fundamentalstørrelsene av andre orden via e_μν  og N_μ. De gir

${\displaystyle \mathbf {\Omega } _{\;3}^{\mu }=-b_{\;\alpha }^{\mu }{\boldsymbol {\omega }}^{\alpha },\;\;\;\mathbf {\Omega } _{\;\nu }^{3}=b_{\nu \beta }{\boldsymbol {\omega }}^{\beta }}$

uttrykt ved basis 1-formene ω^μ på flaten. I tillegg er Ω³₃ = 0 da N har konstant lengde. Komponentene til krumningsformen

${\displaystyle \mathbf {R} _{\;\nu }^{\mu }={1 \over 2}R_{\;\nu \alpha \beta }^{\mu }\,{\boldsymbol {\omega }}^{\alpha }\wedge {\boldsymbol {\omega }}^{\beta }}$

er Riemanns krumningstensor som derfor blir

${\displaystyle R_{\;\nu \alpha \beta }^{\mu }=b_{\;\alpha }^{\mu }b_{\nu \beta }-b_{\;\beta }^{\mu }b_{\nu \alpha }}$

på en flate. Indeksen μ  kan her på begge sider senkes ved metrikken g_μν. Det gir det ekvivalente resultatet

${\displaystyle R_{\mu \nu \alpha \beta }=b_{\mu \alpha }b_{\nu \beta }-b_{\mu \beta }b_{\nu \alpha }}$

hvorav man direkte kan avlese symmetriene til denne tensoren. Den er antisymmetrisk i de to første og de to siste indeksene og i tillegg symmetrisk ved ombytte av de to første indeksene med de to siste,

${\displaystyle R_{\mu \nu \alpha \beta }=-R_{\mu \nu \beta \alpha },\;\;R_{\mu \nu \alpha \beta }=-R_{\nu \mu \alpha \beta },\;\;R_{\mu \nu \alpha \beta }=+R_{\alpha \beta \mu \nu }}$

De samme symmetriene opptrer også på mangfoldigheter med høyere dimensjon.^[7]

For flaten med sine to dimensjoner, betyr det at Riemann-tensoren har bare en uavhengig komponent. Den kan tas å være

${\displaystyle R_{1212}=b_{11}b_{22}-b_{12}b_{21}=\det(b_{\mu \nu })}$

og bestemmer flatens krumning som K = R₁₂₁₂/g. Da Riemann-tensoren alltid kan beregens fra konneksjonsformene som igjen følger fra metrikken, er flatens krumning en intrinsikk egenskap som teoremet sier.

Beregning av krumningsformen er enklest å utføre i et mobilt aksekors som ved beskrivelse av kurver ved Frenets formler. Man innfører da ortonormerte basisformer ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}^{\hat {\mu }}}$ slik at metrikken blir diagonal med alle elementer lik med 1. Kalles transformasjonsmatrisen for ${\displaystyle V_{\;\;\mu }^{\hat {\mu }}}$, har man dermed for de metriske komponentene

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\delta _{{\hat {\mu }}{\hat {\nu }}}V_{\;\;\mu }^{\hat {\mu }}V_{\;\;\nu }^{\hat {\nu }}}$

Kaller man determinanten til denne matrisen for V, blir dermed determinanten til metrikken g = V². Komponentene til Riemann-tensoren vil transformere på tilsvarende vis. Det betyr at

${\displaystyle R_{1212}=R_{{\hat {1}}{\hat {2}}{\hat {1}}{\hat {2}}}V^{2}}$

når man hensyn til symmetriene til denne tensoren. I denne ortonormerte basisen blir den gaussiske krumningen dermed

${\displaystyle K=R_{{\hat {1}}{\hat {2}}{\hat {1}}{\hat {2}}}}$

Disse komponentene kan beregnes fra rotasjonsformene ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}_{\;{\hat {\nu }}}^{\hat {\mu }}}$ som er definert ved «strukturligningen»

${\displaystyle \mathbf {d} {\boldsymbol {\omega }}^{\hat {\mu }}=-{\boldsymbol {\Omega }}_{\;{\hat {\nu }}}^{\hat {\mu }}\wedge {\boldsymbol {\omega }}^{\hat {\nu }}}$

De er antisymmetriske i sine to indekser slik at på en flate eksisterer det bare en rotasjonsform ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}_{\;{\hat {2}}}^{\hat {1}}}$. Krumningsformen følger nå generelt fra

${\displaystyle \mathbf {R} _{\;{\hat {\nu }}}^{\hat {\mu }}=\mathbf {d} {\boldsymbol {\Omega }}_{\;{\hat {\nu }}}^{\hat {\mu }}+{\boldsymbol {\Omega }}_{\;{\hat {\lambda }}}^{\hat {\mu }}\wedge {\boldsymbol {\Omega }}_{\;{\hat {\nu }}}^{\hat {\lambda }}}$

hvor siste ledd derfor er null på en flate.

Som en illustrasjon av denne metoden, kan man betrakte en diagonal metrikk på flaten hvis linjeelement derfor kan skrives på formen

${\displaystyle ds^{2}=A^{2}(u,v)du^{2}+B^{2}(u,v)dv^{2}}$

Da skrives den første basisformen som ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}^{\hat {1}}=A\mathbf {d} u}$, mens den andre er ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}^{\hat {2}}=A\mathbf {d} v}$. Ved ytrederivasjon finner man herav

${\displaystyle \mathbf {d} {\boldsymbol {\omega }}^{\hat {1}}=A_{v}\mathbf {d} v\wedge \mathbf {d} u+B_{u}\mathbf {d} u\wedge \mathbf {d} v}$

hvor derivasjon med hensyn på u og v er angitt ved de tilsvarende indeksene. Krumningsformen på denne flaten er derfor

${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}_{\;{\hat {2}}}^{\hat {1}}={A_{v} \over B}\mathbf {d} u-{B_{u} \over A}\mathbf {d} v}$

En ny ytrederivasjon gir nå

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {d} {\boldsymbol {\Omega }}_{\;{\hat {2}}}^{\hat {1}}&={\partial \over \partial v}\left({A_{v} \over B}\right)\mathbf {d} v\wedge \mathbf {d} u-{\partial \over \partial u}\left({B_{u} \over A}\right)\mathbf {d} u\wedge \mathbf {d} v\\&={1 \over 2}R_{\;{\hat {2}}{\hat {\alpha }}{\hat {\beta }}}^{\hat {1}}{\boldsymbol {\omega }}^{\hat {\alpha }}\wedge {\boldsymbol {\omega }}^{\hat {\beta }}\end{aligned}}}$

Komponenten til krumningstensoren kan her avleses direkte slik at den gaussiske krumningen for denne flaten blir

${\displaystyle K=-{1 \over AB}\left[{\partial \over \partial u}\left({1 \over A}{\partial B \over \partial u}\right)+{\partial \over \partial v}\left({1 \over B}{\partial A \over \partial v}\right)\right]}$

Dette resultatet kan benyttes i mange praktiske sammenhenger. For eksempel, en kuleflate med radius a har merikken

${\displaystyle ds^{2}=a^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})}$

når den beskrives med kulekoordinater. Da er A = a  og B = a sinθ  slik at A_φ = 0  og B_θ = a cosθ. Krumningen blir dermed

${\displaystyle K=-{1 \over a^{2}\sin \theta }\left[{\partial \over \partial \theta }\left({a\cos \theta \over a}\right)\right]={1 \over a^{2}}}$

i overensstemmelse med hva man finner med andre metoder.

Flater og rom med konstant krumning er maksimalt symmetriske og er viktige i matematikk og fysikk. Deres metriske tensor kan utledes på mange måter. Tar man utgangspunkt i en rotasjonsflate generert ved rotasjon av en kurve om z-aksen, vil hvert punkt på den i polarkoordinater (r,φ,z) være gitt ved

${\displaystyle \mathbf {x} =r\cos \phi \,\mathbf {e} _{x}+r\sin \phi \,\mathbf {e} _{y}+z\mathbf {e} _{z}}$

Antar man parametriseringen r = r(λ), z = z(λ) av kurven, finnes metrikken fra linjeelementet

${\displaystyle ds^{2}=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} =(r'^{2}+z'^{2})d\lambda ^{2}+r^{2}d\phi ^{2}}$

Den blir spesiell enkel når man velger å bruke naturlig parametrisering der λ settes lik kurvens buelengde σ. Da vil r '² + z '² = 1 som betyr at r ' ≤ 1. På dette vis har man dermed at

${\displaystyle ds^{2}=d\sigma ^{2}+r^{2}(\sigma )d\phi ^{2}}$

Flaten er nå parametrisert ved de to koordinatene (σ,φ) og har en diagonal metrikk med komponentene A = 1 og B = r(σ). Uttrykket for den gaussiske krumningen forenkles nå til

${\displaystyle K=-{r'' \over r}}$

En flat flate har K = 0 som betyr at r ' er en konstant a ≤ 1. Dermed blir r = aσ + b. Den nye konstanten b kan settes lik null ved et passende valg av parameteren σ. Denne flaten får dermed metrikken

${\displaystyle ds^{2}=d\sigma ^{2}+a^{2}\sigma ^{2}d\phi ^{2}}$

som beskriver overflaten til en rett kjegle. Setter man a = sinα, er α den halve åpningsvinkelen til kjeglen. For den spesielle verdien a = 1 går flaten over til å bli et plan parametrisert ved (σ,φ) som nå er vanlige polarkoordinater i to dimensjoner.

Funksjonen r(σ) for en flate med konstant, positiv krumning K = 1/a² hvor a nå er en eller annen lengde, tilfredsstiller differensialligningen

${\displaystyle r''+{1 \over a^{2}}r=0}$

Dette er den harmoniske svingeligningen. Igjen ved å velge nullpunktet for parameteren σ på en passende måte, er løsningen av denne r = c sinσ/a  hvor c er en integrasjonskonstant. Det tidligere kravet r ' ≤ 1  betyr nå at c ≤ a.

Den mest symmetriske flaten fremkommer for den spesielle verdien c = a. Innfører man da som ny parameter θ = σ/a, tar metrikken formen

${\displaystyle ds^{2}=a^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})}$

og beskriver dermed den todimensjonale kuleflaten S² med radius a.

Ved en stereografisk projeksjon kan hvert punkt med koordinater (θ,φ) på kuleflaten avbildes på et plan med polarkoordinater (ρ,φ). Fra figuren ser man sammenhengen

${\displaystyle \tan {\theta \over 2}={\rho \over 2a}}$

som betyr at

${\displaystyle \sin {\theta }={\rho /a \over 1+\rho ^{2}/4a^{2}}}$

Med denne koordinatiseringen får dermed kuleflaten metrikken

${\displaystyle ds^{2}={d\rho ^{2}+\rho ^{2}d\phi ^{2} \over (1+\rho ^{2}/4a^{2})^{2}}}$

hvor ρ  går fra null til uendelig og φ  fortsatt varierer mellom 0 og 2π.

En sirkel tilsvarer en kurve ρ = konstant og har en lengde som er forskjellig fra 2π ρ. Koordinaten ρ  kan derfor ikke betraktes som en vanlig radius. Men en slik radiell koordinat kan finnes ved å definere

${\displaystyle r={\rho \over 1+\rho ^{2}/4a^{2}}=a\sin \theta }$

som ikke lenger har noe å gjøre med den opprinnelige r - funksjonen. Metrikken på den krumme kuleflaten tar da formen

${\displaystyle ds^{2}={dr^{2} \over 1-r^{2}/a^{2}}+r^{2}d\phi ^{2}}$

Denne nye, radielle koordinaten varierer mellom 0 og a  som tilsvarer at den polare vinkelen θ  går fra 0 til π /2. For å dekke hele kuleflaten, fortsetter θ  å øke fra π /2  til π  som betyr at r avtar fra a til null. På denne flaten eksisterer det i så fall sfærisk geometri. Hadde man begrenset seg til den første halvdelen, ville man hatt metrikken for elliptisk geometri som kan benyttes for et projektivt plan. Begge geometriene kan derfor avbildes til innsiden av en sirkel.

Metrikken for en flate med konstant, negativ krumning K = - 1/a²  er bestemt av differensialligningen

${\displaystyle r''-{1 \over a^{2}}r=0}$

Hvis man vil at funksjonen r(σ) skal være endelig for alle positive verdier av parameteren σ, vil løsningen av ligningen være r = ce^-σ /a . Men ved igjen å velge nullpunktet for σ passende, kan man her sette integrasjonskonstanten c = a. Kurven som genererer denne flaten, er derfor en traktrise i naturlig parametrisering. Den resulterende rotasjonsflaten har dermed metrikken

${\displaystyle ds^{2}=a^{2}(d\chi ^{2}+e^{-2\chi }\,d\phi ^{2})}$

hvor χ = σ/a. Den ser ut som en uendelig, rett trompet eller lur. Setter man to slike flater sammen med åpningene mot hverandre, får man en ny flate som kalles for «traktoide» eller en pseudosfære da den har motsatt krumning av en sfærisk kuleflate. Dens areal blir

${\displaystyle A=2a^{2}\int _{0}^{\infty }\!d\chi e^{-\chi }\int _{0}^{2\pi }\!d\phi =4\pi a^{2}}$

og er derfor det samme som for en vanlig kuleflate med radius a. Den flaten ble funnet i 1868 av Eugenio Beltrami som viste at den kunne brukes til å illustrere ikke-euklidsk geometri.

Differensialligningen for en flate med konstant, negativ krumning har også andre løsninger.^[3] En viktig klasse tilsvarer løsningen r = c sinhσ/a. Betingelsen r ' ≤ 1 betyr nå at c ≤ a. Er ikke denne oppfylt, kan ikke flaten legges inn i det tredimensjonale, euklidske rommet E³. Men matematisk sett eksisterer løsningen også for c = a. Den beskriver da en flate med metrikken

${\displaystyle ds^{2}=a^{2}(d\chi ^{2}+\sinh ^{2}\!\chi \,d\phi ^{2})}$

hvor igjen χ = σ/a og kalles for et hyperbolsk plan som er uendelig stort. Navnet viser tilbake på at denne flaten har hyperbolsk geometri. Hele flaten kan ikke legges inn i det tredimensjonale rommet. Men med en endelig del kan man gjøre det. Slik kan man få frem pseudosfæren på samme måte som en sylinder kan betraktes som en endelig del av det euklidske planet.

Denne krumme flaten kan også koordinatiseres på forskjellige måter. En tilsvarende stereografisk projeksjon som for kuleflaten gir

${\displaystyle \tanh {\chi \over 2}={\rho \over 2a}}$

hvor nå ρ < 2a. Det betyr at

${\displaystyle \sinh {\chi }={\rho /a \over 1-\rho ^{2}/4a^{2}}}$

slik at metrikken tar formen

${\displaystyle ds^{2}={d\rho ^{2}+\rho ^{2}d\phi ^{2} \over (1-\rho ^{2}/4a^{2})^{2}}}$

i disse nye koordinatene. På denne måten er også det hyperbolske planet avbildet på innsiden av en sirkel. Alternativt kan man definere

${\displaystyle r={\rho \over 1-\rho ^{2}/4a^{2}}=a\sinh \chi }$

som lar linjeelementet ta formen

${\displaystyle ds^{2}={dr^{2} \over 1+r^{2}/a^{2}}+r^{2}d\phi ^{2}}$

Metrikkene til både det euklidske, sfæriske og hyperbolske planet kan skrives på formen

${\displaystyle ds^{2}={dr^{2} \over 1-Kr^{2}}+r^{2}d\phi ^{2}}$

hvor igjen K er den gaussiske krumningen.

Disse flatene med konstante krumninger kan generaliseres til tilsvarende, maksimalt symmetriske rom i tre og fire dimensjoner. De danner grunnlaget for moderne kosmologi basert på Einsteins generelle relativitetsteori.^[7]

• E. Kreyzig, Differential Geometry, Dover Publications, New York (1991). ISBN 0-486-66721-9.
• T.J. Willmore, An Introduction to Differential Geometry, Clarendon Press, Oxford (1959). ISBN 0-486-48618-4.

• G. Berge, Vektor og tensoranalyse Arkivert 23. mars 2017 hos Wayback Machine., forelesninger ved Universitetet i Bergen (2004).
• N.M. Patrikalakis, Differential Geometry of Surfaces, forelesninger ved MIT (2009).