Kwadraatgetal

In wiskunde is een kwadraatgetal, soms ook wel een perfect vierkant genoemd, een geheel getal dat kan worden geschreven als het kwadraat van een geheel getal; met andere woorden, het is het product van een willekeurig geheel getal met zichzelf. Zo is bijvoorbeeld 9 een kwadraatgetal, omdat het kan worden geschreven als 3 × 3. Kwadraatgetallen zijn niet-negatief. Een andere manier om te zeggen dat een (niet-negatief) getal een kwadraatgetal is, is dat de wortel van een kwadraatgetal een geheel getal is. Aangezien ${\displaystyle {\sqrt {9}}=3}$, is 9 een kwadraatgetal.

De eerste 50 kwadraatgetallen binnen de natuurlijke getallen^[1] zijn:

Het patroon tussen de perfecte vierkanten van negatief oneindig tot positief oneindig is als volgt:

${\displaystyle n^{2}=(n-1)^{2}+(2n-1).\ }$

en dus ook

${\displaystyle (n+1)^{2}=n^{2}+(2n+1).\ }$

Het getal m is dan en slechts dan een kwadraatgetal als men de m punten in een vierkant kan arrangeren:

m = 12 = 1
m = 22 = 4
m = 32 = 9
m = 42 = 16
m = 52 = 25

De uitdrukking voor het n-de kwadraatgetal is n². Dat dit ook gelijk is aan de som van de eerste n oneven getallen kan men zien in de bovenstaande plaatjes, waar een vierkant de som is van het voorgaande vierkant met daarbij een oneven aantal punten (in cyaan) opgeteld. De formule volgt:

${\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1)}$.

Zo is bijvoorbeeld 5² = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

Het verschil tussen twee willekeurige kwadraatgetallen is een oneven getal of de som van twee opeenvolgende oneven getallen.

Elk kwadraatgetal n² kan ook geschreven worden als de som van een rekenkundige rij van n getallen met als eerste element (n+1)/2 en als verschil 1:

• 2² = 4 = 1,5 + 2,5
• 3² = 9 = 2 + 3 + 4
• 4² = 16 = 2,5 + 3,5 + 4,5 + 5,5
• 5² = 25 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7
• 6² = 36 = 3,5 + 4,5 + 5,5 + 6,5 + 7,5 + 8,5
• 7² = 49 = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

enzoverder. Hieruit blijkt dat als n een oneven getal is, het kwadraat ervan de som is van n opeenvolgende natuurlijke getallen.

• Driehoekskwadraatgetal