Palmer is een jeugdproduct van Manchester City. In het seizoen 2020/21 speelde hij zijn eerste officiële minuten in het eerste elftal van de club: op 30 september 2020 kreeg hij een basisplaats in de League Cup-wedstrijd tegen Burnley FC, een wedstrijd die City met 0-3 won. Een maand later maakte Palmer ook zijn Europese debuut: in de Champions League-groepswedstrijd tegen Olympique Marseille viel hij in de 82e minuut in voor Kevin De Bruyne. In juni 2021 werd het contract van Palmer verlengd tot 2026.[1]
In het seizoen 2021/22 kreeg hij al vroeg in het seizoen nieuwe kansen van trainer Josep Guardiola. In de FA Community Shield, die City met 1-0 verloor van Leicester City, kreeg hij een basisplaats en werd hij in de 74e minuut vervangen door Bernardo Silva. Op 21 augustus 2021 maakte hij ook zijn officiële debuut in de Premier League: op de tweede competitiespeeldag liet Guardiola hem tegen Norwich City in de 69e minuut invallen voor İlkay Gündoğan. Dag op dag een maand later scoorde hij in de League Cup-wedstrijd tegen Wycombe Wanderers (6-1-winst) zijn eerste doelpunt voor City. Op 16 oktober 2021 scoorde Palmer een hattrick voor de U23 van Manchester City in de Premier League 2-wedstrijd tegen de U23 van Leicester City, nauwelijks enkele uren nadat hij in de Premier League kort was ingevallen tegen Burnley FC.[2] Drie dagen later opende hij tegen Club Brugge ook zijn doelpuntenrekening in de Champions League.[3]
Palmer nam in 2019 met de Engelse U17 deel aan het EK onder 17 in Ierland. Hij kreeg er een basisplaats in de groepswedstrijden tegen Frankrijk, Nederland en Zweden. Palmer debuteerde op 17 november 2023 in het eerste elftal van Engeland, als vervanger van Marcus Rashford in het EK-kwalificatieduel met Malta (2–0). Zijn eerste interlanddoelpunt maakte hij op 3 juni 2024, bij een 3–0 oefenzege tegen Bosnië en Herzegovina. Hij werd drie dagen later door bondscoach Gareth Southgate opgenomen in de Engelse selectie voor het EK 2024 in Duitsland.[4] Engeland bereikte de finale, die het met 2–1 verloor van Spanje. Palmer kwam op het toernooi in vijf wedstrijden als invaller in actie en maakte de gelijkmaker in de finale.