Serie convergente

In matematica, una serie convergente è una serie tale che il limite delle sue somme parziali è finito. Questo vuol dire che, data una successione ${\displaystyle a_{i}}$, la serie ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}}$ è convergente se la successione delle somme parziali

${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i},}$

ha un limite finito, cioè se esiste finito ${\displaystyle S}$ tale che per ogni ${\displaystyle \varepsilon >0}$ esiste ${\displaystyle N}$ tale che per ogni ${\displaystyle n>N}$

${\displaystyle |S_{n}-S|<\varepsilon .}$

Il numero ${\displaystyle S}$ è detto somma della serie: spesso è difficile trovare questo numero, sebbene possa essere facile capire che una serie è convergente.

La somma di due serie convergenti è ovviamente ancora convergente, così come la serie prodotta dalla moltiplicazione di una serie per uno scalare; le serie convergenti formano quindi uno spazio vettoriale sul campo dei numeri reali.

Una serie non convergente non è necessariamente detta divergente, ad esempio la serie ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}}$ non è né convergente né divergente, in quanto la sua successione delle somme parziali oscilla tra i valori ${\displaystyle 0}$ e ${\displaystyle 1}$ e quindi non ammette limite.

• Un esempio tipico di serie convergente è la serie geometrica di parametro ${\displaystyle q<1}$: ad esempio

  ${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+\cdots =\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}=2,}$

• Anche la somma dei reciproci dei quadrati converge (trovare il suo limite è stato il famoso problema di Basilea):

  ${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+\cdots =\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}},}$

• Mediante lo sviluppo in serie di Taylor è possibile mostrare che

  ${\displaystyle {\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-\cdots =\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}{\frac {1}{2i+1}}={\frac {\pi }{4}},}$

• Una serie non convergente è invece la serie dei reciproci dei numeri primi (dimostrazione):

  ${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\cdots =\sum _{p\in \mathbb {P} }{\frac {1}{p}},}$

dove ${\displaystyle \mathbb {P} }$ indica l'insieme dei numeri primi.

Una serie è detta assolutamente convergente se converge la serie dei valori assoluti, cioè se la serie

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }|a_{i}|,}$

converge.

Si dimostra facilmente che una serie assolutamente convergente è convergente: infatti, se si definiscono due nuove successioni

${\displaystyle b_{i}={\begin{cases}a_{i}\mathrm {~se~} a_{i}>0\\0\mathrm {~altrimenti} \end{cases}}}$

${\displaystyle c_{i}={\begin{cases}-a_{i}\mathrm {~se~} a_{i}<0\\0\mathrm {~altrimenti} \end{cases}}}$

risulta evidente che le loro serie ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }b_{i}}$ e ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }c_{i}}$ sono a termini positivi e convergono, poiché ogni loro termine è minore o uguale del corrispondente termine di ${\displaystyle |a_{i}|}$. Quindi la loro differenza è anch'essa convergente, e quindi la serie originale converge, perché ${\displaystyle a_{i}=b_{i}-c_{i}}$

Il viceversa non è vero: la serie

• ${\displaystyle -{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}-\cdots =\sum _{i=1}^{\infty }(-1)^{i}{\frac {1}{i}},}$

converge a ${\displaystyle -\ln 2}$, ma la serie dei valori assoluti

• ${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots =\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i}},}$

è la serie armonica, che diverge.

Lo stesso argomento in dettaglio: Criteri di convergenza.

Per stabilire se una serie converge o meno è possibile usare dei criteri di convergenza, che consentono spesso di stabilire velocemente il carattere di una serie (specialmente se è a termini positivi, cioè se ${\displaystyle S_{n}>S_{n-1}}$ per ogni ${\displaystyle n}$ sufficientemente grande) senza tuttavia permettere di calcolarne effettivamente la somma.

Il metodo principale, che viene usato per dimostrare molti altri è il criterio del confronto: se ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}}$ e ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }b_{i}}$ sono due serie a termini positivi tali che ${\displaystyle b_{i}>a_{i}}$ per ogni ${\displaystyle n}$ sufficientemente grande e la seconda serie converge, allora converge anche la prima. Inversamente, se la prima diverge così farà la seconda.

Altri criteri molto usati sono il criterio del rapporto e il criterio della radice: nel primo si studia il comportamento della quantità ${\displaystyle {\frac {a_{i+1}}{a_{i}}}}$, mentre nel secondo della quantità ${\displaystyle {\sqrt[{i}]{a_{i}}}}$ al tendere di ${\displaystyle i}$ a ${\displaystyle +\infty }$. In entrambi i casi, se questo limite è minore di ${\displaystyle 1}$ la serie converge, se è maggiore diverge, mentre se è uguale a ${\displaystyle 1}$ il criterio fallisce e non dà informazioni sul comportamento della serie.

Per serie a termini di segno alterno è disponibile il criterio di Leibniz, il quale afferma che se ${\displaystyle a_{i}}$ è decrescente e tende a ${\displaystyle 0}$, allora la serie ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}a_{i}}$ converge.

• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis. McGrawHill, 1994.
• Michael Spivak, Calculus. Houston, Publish or Perish, 1994. ISBN 0914098896.

• Serie (matematica)
• Criterio del rapporto
• Criterio della radice
• Teorema di Riemann-Dini

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