Risultante (polinomi)

In matematica, il risultante di due polinomi ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle Q}$, con coefficienti dei monomi di grado massimo ${\displaystyle p}$ e ${\displaystyle q}$ rispettivamente, è definito come il prodotto

${\displaystyle \mathrm {res} (P,Q)=p^{\deg Q}q^{\deg P}\prod _{(x,y):\,P(x)=0,\,Q(y)=0}(x-y),}$

delle differenze tra le loro radici in una chiusura algebrica di ${\displaystyle k}$, considerate con le loro molteplicità come radici dei polinomi, e di opportune potenze dei coefficienti ${\displaystyle p}$ e ${\displaystyle q}$.

• Per un fissato polinomio ${\displaystyle P}$, il prodotto di sopra può essere riscritto come

${\displaystyle \mathrm {res} (P,Q)=p^{\deg Q}\prod _{P(x)=0}Q(x),}$

e quindi dipende polinomialmente dai coefficienti di ${\displaystyle Q}$. Un altro modo per vedere ciò è di osservare che ${\displaystyle res(P,Q)}$ dipende polinomialmente (con coefficienti interi) dalle radici di ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle Q}$, ed è invariante per qualunque permutazione di tali radici.

• Più concretamente, il risultante è il determinante della matrice di Sylvester associata a ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle Q}$.

• L'espressione

${\displaystyle \mathrm {res} (P,Q)=p^{\deg Q}\prod _{P(x)=0}Q(x)}$

non cambia se ${\displaystyle Q}$ è ridotto modulo ${\displaystyle P}$.

• Sia ${\displaystyle P'=P\mod Q}$. Allora l'idea di sopra può essere iterata scambiando i ruoli di ${\displaystyle P'}$ e ${\displaystyle Q}$. Il risultante può pertanto essere calcolato tramite una variante dell'algoritmo di Euclide.

• Poiché il risultante è un polinomio a coefficienti interi nei coefficienti di ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle Q}$, si ha che
  • Il risultante è ben definito per polinomi su qualunque anello commutativo.
  • Se h è un omomorfismo dell'anello dei coefficienti in un altro anello commutativo, che preserva i gradi di ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle Q}$, allora il risultante dell'immagine tramite h di ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle Q}$ è l'immagine tramite h del risultante di ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle Q}$.
• Il risultante di due polinomi a coefficienti in un dominio di integrità è zero se e solo se hanno massimo comune divisore di grado positivo.

• Il discriminante di un polinomio è definito (a meno del segno) come il quoziente del risultante tra il polinomio e la sua derivata con il coefficiente del suo monomio di grado massimo.

• I risultanti possono essere usati in geometria algebrica per determinate intersezioni. Ad esempio, siano

${\displaystyle f(x,y)=0}$

e

${\displaystyle g(x,y)=0}$

curve algebriche in ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{2}}$. Se ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ sono visti come polinomi in ${\displaystyle x}$ a coefficienti in ${\displaystyle k[y]}$, allora il risultante di ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ è un polinomio in ${\displaystyle y}$ le cui radici sono le coordinate ${\displaystyle y}$ delle intersezioni tra le curve e degli asintoti comuni paralleli all'asse delle ${\displaystyle x}$.

• (EN) Eric W. Weisstein, Risultante, su MathWorld, Wolfram Research.

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