Insieme di definizione

In matematica, l'insieme di definizione è l'insieme massimale in cui è definita un'espressione data. Più precisamente: dati due insiemi ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ e una regola di associazione ${\displaystyle x\mapsto f(x)}$ che stabilisce come assegnare a un valore dato ${\displaystyle x\in X}$ un valore ${\displaystyle f(x)\in Y}$, ci si può porre il problema di determinare l'insieme (o campo) di definizione (o di esistenza) di una tale regola di associazione, cioè l'insieme massimale ${\displaystyle A\subseteq X}$ in cui l'espressione ${\displaystyle f(x)}$ ha senso. In tal caso possiamo allora definire una funzione ${\displaystyle f\colon A\to Y,x\mapsto f(x).}$ Nel caso di funzioni a una variabile reale, il problema consiste nel determinare il massimo sottoinsieme ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$ sul quale è possibile definire una funzione ${\displaystyle f\colon A\to \mathbb {R} }$ che rispetti ${\displaystyle x\mapsto f(x)}$, cioè l'insieme di tutti i numeri reali ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ per i quali l'espressione ${\displaystyle f(x)}$ è ben definita. In altri termini, definita una funzione ${\displaystyle x\mapsto f(x)}$ il cui dominio ${\displaystyle B}$ sia contenuto in ${\displaystyle \mathbb {R} }$, avremo necessariamente ${\displaystyle B\subseteq A}$.^[1]

Le regole^[2] per determinare il campo di esistenza di una funzione reale a variabile reale sono diverse, a seconda della natura della funzione:

• se la funzione è algebrica razionale fratta, ossia se possiede un denominatore in cui compare la variabile ${\displaystyle x}$, allora il denominatore dovrà essere posto diverso da ${\displaystyle 0}$;
• se la funzione è algebrica irrazionale intera, cioè se la variabile ${\displaystyle x}$ compare sotto il segno di radice e la radice ha indice pari, allora il radicando deve essere posto maggiore o uguale a ${\displaystyle 0}$;
• se la funzione è trascendente di tipo logaritmico, cioè se la variabile ${\displaystyle x}$ compare nell'argomento del logaritmo, allora tale argomento deve essere posto maggiore di ${\displaystyle 0}$;
• se la funzione è una tangente, allora l'argomento della tangente deve essere posto diverso da ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+k\pi }$;
• se la funzione è una cotangente, allora l'argomento della cotangente deve essere posto diverso da ${\displaystyle k\pi }$;
• se la funzione è un arcoseno o un arcocoseno, allora l'argomento di tale funzione deve essere compreso tra ${\displaystyle \left[-1,1\right]}$.

• L'espressione ${\displaystyle f(x)=\log {\frac {\sqrt {x+2}}{x-5}}}$ è priva di significato se è verificata una delle seguenti condizioni:

${\displaystyle {\frac {\sqrt {x+2}}{x-5}}\leqslant 0}$ perché il logaritmo non esiste per argomenti negativi^[3]

${\displaystyle x+2<0}$ perché una radice quadrata non esiste per radicandi negativi^[4]

${\displaystyle x-5=0}$ perché una frazione non esiste per denominatori che si annullano,

dunque il sottoinsieme reale massimale sul quale può essere definita una funzione di variabile reale ${\displaystyle f\colon A\to \mathbb {R} }$ con questa associazione è dato dall'insieme delle soluzioni del sistema:

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\sqrt {x+2}}{x-5}}>0\\x+2\geqslant 0\\x-5\neq 0\end{cases}}}$.

Significa quindi che per ogni

${\displaystyle D\subseteq A=(5,+\infty )}$

è possibile definire una funzione

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}f\colon D&\to &\mathbb {R} \\x&\mapsto &\log {\frac {\sqrt {x+2}}{x-5}}.\end{array}}}$

• La funzione ${\displaystyle f(x)=e^{\frac {1}{x}}}$ è una funzione esponenziale; poiché la variabile ${\displaystyle x}$ compare a denominatore dell'esponente, l'insieme di definizione di questa funzione è dato da tutti i valori reali di ${\displaystyle x\neq 0}$.

• Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Corso Base Blu di Matematica-Volume 5, Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0.
• Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volume 5, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4.
• Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7.

• Dominio (matematica)
• Funzione (matematica)
• Studio di funzione

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