Lompat ke isi

Matriks normal

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Dalam matematika, suatu matriks persegi dengan entri-entri kompleks dikatakan normal jika ia bersifat komutatif atas perkalian matriks dengan transpos konjugat ; secara matematis dinyatakan sebagai . Konsep dari matriks normal dapat diperumum menjadi operator normal di ruang vektor bernorma berdimensi tak hingga, dan elemen normal di aljabar C*.

Ada banyak cara yang ekuivalen untuk mendefinisikan matriks normal. Misalkan adalah matriks kompleks berukuran , pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:

  1. adalah matriks normal.
  2. dapat diagonalkan oleh suatu matriks uniter.
  3. Ada suatu himpun vektor-vektor eigen dari yang membangun basis ortonormal bagi .
  4. untuk sembarang x.
  5. Norma Frobenius dari dapat dihitung dari nilai-nilai eigen , yakni .
  6. Bagian Hermite dan bagian skew-Hermitian dari saling komutatif.
  7. suatu polinomial (dengan derajat maksimum ) dalam .[a]
  8. untuk suatu matriks uniter .[1]
  9. dan saling komutatif, yang mengartikan kita memiliki dekomposisi kutub dengan suatu matriks uniter dan suatu matriks semidefinit positif .
  10. saling komutatif dengan suatu matriks normal yang nilai-nilai eigennya yang unik.
  11. untuk semua , dengan dan masing-masing adalah nilai-nilai singular dan nilai-nilai eigen dari .[2]

Kasus khusus

[sunting | sunting sumber]

Di antara matriks-matriks kompleks, semua matriks uniter, Hermite, dan skew-Hermitian bersifat normal. Serupa dengan itu, di antara matriks-matriks real, semua matriks ortogonal, simetrik, dan skew-symmetric bersifat normal. Namun, tidak semua matriks normal merupakan matriks uniter atau (skew-)Hermite. sebagai contoh,

tidak uniter, Hermite, maupun skew-Hermitian, namun merupakan matriks normal karena

Catatan kaki

[sunting | sunting sumber]
  1. ^ Bukti: Jika normal, gunakan rumus interpolasi Lagrange untuk mengonstruksi suatu polinomial sedemikian sehingga , dengan adalah nilai-nilai eigen dari .

Referensi

[sunting | sunting sumber]