Lingkaran

Lingkaran adalah sosok bidang yang dibatasi oleh satu garis lengkung, dan sedemikian rupa sehingga semua garis lurus yang ditarik dari titik tertentu di dalamnya ke garis pembatas, adalah sama. Garis pembatas disebut kelilingnya dan titiknya, pusatnya.

— Euclid, Elements, Book I^[1]:4

Di bidang topologi, lingkaran tidak terbatas pada konsep geometris, tetapi untuk semua homeomorfismenya. Dua lingkaran topologi setara jika satu dapat ditransformasikan menjadi yang lain melalui deformasi R³ pada dirinya sendiri (dikenal sebagai ambient isotopy)^[2]

Beberapa istilah geometri mengenai lingkaran, yaitu:

• Titik pusat: merupakan titik tengah lingkaran, di mana jarak titik tersebut dengan titik manapun pada lingkaran selalu tetap.

• Jari-jari atau radius: merupakan garis lurus yang menghubungkan titik pusat dengan sebarang titik pada lingkaran.
• Tali busur: merupakan ruas garis yang menghubungkan dua titik yang berbeda pada lingkaran.
• Diameter: merupakan tali busur terbesar yang panjangnya adalah dua kali dari jari-jarinya. Diameter ini membagi lingkaran sama luas.
• Garis potong: merupakan garis perpanjangan tali busur, memotong lingkaran di dua titik berbeda.
• Garis singgung: merupakan garis yang menyentuh lingkaran tepat hanya pada satu titik.
• Apotema: merupakan ruas garis terpendek antara tali busur dan pusat lingkaran.

• Busur: merupakan garis lengkung baik terbuka, maupun tertutup yang berimpit dengan lingkaran.
• Keliling lingkaran: merupakan busur terpanjang pada lingkaran
• Juring: merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh busur dan dua buah jari-jari yang berada pada kedua ujungnya.
• Tembereng: merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh sebuah busur dengan tali busurnya.
• Cakram: merupakan semua daerah yang berada di dalam lingkaran. Luasnya yaitu jari-jari kuadrat dikalikan dengan pi. Cakram merupakan juring terbesar.

Dalam bahasa Inggris, lingkaran disebut dengan circle serta memiliki kaitan yang erat dengan kata circus ataupun circuit. Sementara itu, lingkaran dalam bahasa Yunani adalah κίρκος/κύκλος (kirkos/kuklos) yang merupakan metatesis dari bahasa Yunani homerik yaitu κρίκος atau krikos artinya cincin, gelang, atau simpai.^[3]

Keberadaan lingkaran telah ada sejak zaman prasejarah. Objek-objek alami seperti Bulan dan Matahari memiliki bentuk lingkaran jika diamat. Penemuan bangun datar lingkaran juga telah menjadi dasar dari perkembangan cabang ilmu lainnya seperti geometri, astronomi, dan kalkulus. Penemuan roda menjadi cikal bakal penemuan dari sifat-sifat yang dimiliki lingkaran.^[4]

Bangsa Yunani mengatakan bahwa bangsa Mesir merupakan bangsa penemu ilmu geometri. Ahmes yang merupakan seorang penulis Rhind papyrus mengemukakan aturan untuk menentukan luas lingkaran yang bernilai 256/81 atau sekitar 3,16. Sementara itu, pada 650 SM, Thales merupakan orang yang pertama kali mengemukakan teorema yang berkaitan dengan lingkaran. Pada buku The Euclid III mengemukakan tentang elemen-elemen lingkaran dan penulisan segibanyak. Salah satu masalah matematika Yunani adalah masalah mencari luas persegi dengan luas yang sama seperti lingkaran yang diberikan. Beberapa 'kurva terkenal' pertama kali dicoba untuk memecahkan masalah tersebut. Anaxagoras pada 450 SM adalah matematikawan yang tercatat pertama kali mempelajari masalah ini.^[4]

Suatu lingkaran memiliki persamaan

${\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=R^{2}\!}$ 

dengan ${\displaystyle R\!}$  adalah jari-jari lingkaran dan ${\displaystyle (x_{0},y_{0})\!}$  adalah koordinat pusat lingkaran.

Jika pusat lingkaran terdapat di ${\displaystyle (0,0)\!}$ , maka persamaan di atas dapat dituliskan sebagai

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}\!}$ 

Bentuk persamaan lingkaran dapat dijabarkan juga menjadi bentuk

${\displaystyle x^{2}+Ax+y^{2}+By+C=0\!}$ 

dengan ${\displaystyle {\sqrt {{\frac {A^{2}+B^{2}}{4}}-C}}\!}$  adalah jari-jari lingkaran dan ${\displaystyle (-{\frac {A}{2}},-{\frac {B}{2}})\!}$  adalah koordinat pusat lingkaran. Bentuk persamaan tersebut dikenal sebagai bentuk umum persamaan lingkaran.

Lingkaran dapat pula dirumuskan dalam suatu persamaan parameterik, yaitu

${\displaystyle x=x_{0}+R\cos(t)\!}$ 

${\displaystyle y=y_{0}+R\sin(t)\!}$ 

yang apabila dibiarkan menjalani t akan dibuat suatu lintasan berbentuk lingkaran dalam ruang x-y.

Luas lingkaran memiliki rumus

${\displaystyle L=\pi r^{2}\!}$ 

L = luas

r = jari-jari (radius)

π = Pi (kira-kira 22/7 atau 3.14)

yang dapat diturunkan dengan melakukan integrasi elemen luas suatu lingkaran

${\displaystyle \mathrm {d} A=r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} r}$ 

dalam koordinat polar, yaitu

${\displaystyle \int \mathrm {d} A=\int _{r=0}^{R}\int _{\theta =0}^{2\pi }r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} r=\int _{r=0}^{R}r\,\mathrm {d} r\int _{\theta =0}^{2\pi }\,\mathrm {d} \theta ={\frac {1}{2}}(R^{2}-0^{2})\ (2\pi -0)=\pi R^{2}}$ .

Dengan cara yang sama dapat pula dihitung luas setengah lingkaran, seperempat lingkaran, dan bagian-bagian lingkaran. Juga tidak ketinggalan dapat dihitung luas suatu cincin lingkaran dengan jari-jari dalam ${\displaystyle R_{1}\!}$  dan jari-jari luar ${\displaystyle R_{2}\!}$ .

Luas lingkaran dapat dihitung dengan memotong-motongnya sebagai elemen-elemen dari suatu juring untuk kemudian disusun ulang menjadi sebuah persegi panjang yang luasnya dapat dengan mudah dihitung. Dalam gambar r berarti sama dengan R yaitu jari-jari lingkaran.

Luas juring suatu lingkaran dapat dihitung apabila luas lingkaran dijadikan fungsi dari R dan θ, yaitu;

${\displaystyle A(R,\theta )={\frac {1}{2}}R^{2}\theta \!}$ 

dengan batasan nilai θ adalah antara 0 dan 2π. Saat θ bernilai 2π, juring yang dihitung adalah juring terluas, atau luas lingkaran.

Luas juring adalah ${\displaystyle {\frac {\theta }{360}}\pi r^{2}}$  atau ${\displaystyle {\frac {\theta }{2}}r^{2}}$ 

Luas tembereng = ${\displaystyle {\frac {1}{2}}r^{2}\theta -{\frac {1}{2}}r^{2}\sin(\theta )}$ 

dengan batasan nilai θ adalah antara 0 dan 2π.

Suatu cincin lingkaran memiliki luas yang bergantung pada jari-jari dalam ${\displaystyle r}$  dan jari-jari luar ${\displaystyle R}$ , yaitu

${\displaystyle A_{\text{cincin}}=\pi (R^{2}-r^{2})}$ 

di mana untuk ${\displaystyle r=0\!}$  , rumus ini kembali menjadi rumus luas lingkaran.

Dengan menggabungkan kedua rumus sebelumnya, dapat diperoleh

${\displaystyle A_{\text{potongan cincin}}={\frac {\pi }{2}}(R^{2}-r^{2})\theta }$ 

yang merupakan luas sebuah cincin tak utuh.

Keliling lingkaran memiliki rumus:

${\displaystyle K=2\pi r\!=\pi d\!}$ 

K = keliling

r = jari-jari

π = Pi (kira-kira 22/7 atau 3.14)

d = diameter

dimana ${\displaystyle K}$ , ${\displaystyle r}$ , ${\displaystyle d}$  melambangkan keliling, jari-jari, dan diameter lingkaran.

Panjang busur suatu lingkaran dapat dihitung dengan menggunakan rumus

${\displaystyle L=R\theta \!}$ 

yang diturunkan dari rumus untuk menghitung panjang suatu kurva

${\displaystyle \mathrm {d} L=\int {\sqrt {1+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x}$ 

di mana digunakan

${\displaystyle y=\pm {\sqrt {R^{2}-x^{2}}}\!}$ 

sebagai kurva yang membentuk lingkaran. Tanda ${\displaystyle \pm }$  mengisyaratkan bahwa terdapat dua buah kurva, yaitu bagian atas dan bagian bawah. Keduanya identik (ingat definisi lingkaran), sehingga sebenarnya hanya perlu dihitung sekali dan hasilnya dikalikan dua.

Panjang busur adalah ${\displaystyle {\frac {\theta }{360}}2\pi r}$  atau ${\displaystyle \theta r}$ 

Garis singgung lingkaran adalah sebuah garis yang ditarik dari suatu titik bersinggungan langsung dengan sisi luar atau pinggir atau busur lingkaran.

Garis singgung yang terdapat pada dua buah lingkaran dibagi menjadi dua jenis yaitu:

Untuk menentukan panjang garis singgung persekutuan dalam dua buah lingkaran dapat dihitung menggunakan rumus:

${\displaystyle d={\sqrt {p^{2}-(r1+r2)^{2}}}}$ 

d = garis singgung persekutuan dalam

p = jarak antara dua pusat lingkaran

r1 = jari-jari lingkaran pertama

r2 = jari-jari lingkaran kedua

Sementara itu, untuk menentukan panjang garis singgung persekutuan luar dua buah lingkaran dapat dihitung menggunakan rumus:

${\displaystyle l={\sqrt {p^{2}-(r1-r2)^{2}}}}$ 

l = garis singgung persekutuan luar

p = jarak antara dua pusat lingkaran

r1 = jari-jari lingkaran pertama yang lebih besar

r2 = jari-jari lingkaran kedua yang lebih kecil^[5]

Nilai pi adalah suatu besaran yang merupakan sifat khusus dari lingkaran, yaitu perbandingan dari keliling K dengan diameternya D:^[a]

${\displaystyle \pi ={\frac {K}{D}}}$ 

• Pedoe, Dan (1988). Geometry: a comprehensive course. Dover. 
• "Circle" in The MacTutor History of Mathematics archive

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Circle", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Circle di PlanetMath.org.
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Circle". MathWorld. 
• Interactive Java applets untuk sifat dan konstruksi dasar yang melibatkan lingkaran.
• Interactive Standard Form Equation of Circle Klik dan seret poin untuk melihat persamaan bentuk standar dalam aksi
• Munching on Circles at cut-the-knot