Subgruppo normal

In le algebra abstracte, un subgruppo normal^[1] es un subgruppo invariabile sub un automorphismo interne, alora un subgruppo ${\displaystyle N}$ del gruppo ${\displaystyle G}$ es normal in ${\displaystyle G}$, si e solmente si ${\displaystyle gng^{-1}\in N}$ pro omne ${\displaystyle g\in G}$ e ${\displaystyle n\in N.}$ Usualmente iste relation se indica ${\displaystyle N\triangleleft G.}$

Ma si on indica isto per ${\displaystyle N\trianglelefteq G}$, de altere parte le notation ${\displaystyle N\vartriangleleft G}$ significa explicitemente que ${\displaystyle N\not =G}$.

Sia ${\displaystyle N<G}$, a saper: Sia ${\displaystyle N}$ un subgruppo del gruppo ${\displaystyle G}$.

Si ${\displaystyle g}$ es un qualcunque elemento de ${\displaystyle G}$, le subinsimul

${\displaystyle gN:=\{gn\mid n\in N\}\subseteq G}$

se nomina le classe de equivalentia a sinistra ${\displaystyle gN}$ de ${\displaystyle N}$ per le elemento ${\displaystyle g}$ de ${\displaystyle G}$.

Si ${\displaystyle g}$ es un qualcunque elemento de ${\displaystyle G}$, le subinsimul

${\displaystyle Ng:=\{ng\mid n\in N\}\subseteq G}$

se nomina le classe de equivalentia a dextra ${\displaystyle gN}$ de ${\displaystyle N}$ per le elemento ${\displaystyle g}$ de ${\displaystyle G}$.

Pro un subgruppo ${\displaystyle N\subseteq G}$ le 8 propositiones sequente es equivalente per pares:

(1) ${\displaystyle gNg^{-1}=N}$ pro omne ${\displaystyle g\in G}$. (invariabilitate)

(2) ${\displaystyle gng^{-1}\in N}$ pro omne ${\displaystyle g\in G}$ e pro cata ${\displaystyle n\in N}$, a saper: ${\displaystyle \forall g\in G\;\;gNg^{-1}\subseteq N}$.

(3) ${\displaystyle \forall g\in G\;\;gN=Ng}$, a saper: Le classe de equivalentia a sinistra de ${\displaystyle N}$ concorda con le classe de equivalentia a dextra de ${\displaystyle N}$ pro omne ${\displaystyle g\in G}$.

(4) Omne classe de equivalentia a sinistra alsi es un classe de equivalentia a dextra.

(5) Omne classe de equivalentia a dextra alsi es un classe de equivalentia a sinistra.

(6) ${\displaystyle G/N=N\backslash G}$.

(7) Le insimul ${\displaystyle N}$ es un union de classes de conjugation del gruppo ${\displaystyle G}$.

(8) Il existe un homomorphismo de gruppos ex ${\displaystyle G}$, cuje nucleo es ${\displaystyle N}$.

1. ↑ Derivation (in ordine alphabetic): (ca) Subgrup normal || (de) Normalteiler || (en) Normal subgroup || (es) Subgrupo normal || (fr) Sous-groupe normal || (it) Sottogruppo normale || (pt) Subgrupo normal || (ro) || (ru) Нормальная подгруппа