Levi-Civita-symboli

Levi-Civita-symbolia eli permutaatiosymbolia käytetään matematiikassa tietyissä tensorilaskuissa.^[1] Se on nimetty italialaisen matemaatikon Tullio Levi-Civitan mukaan.

Levi-Civita-symbolin alaindeksien permutaatiossa jotkin sen vierekkäin olevan alaindeksit vaihtavat paikkaa keskenään.

Levi-Civita-symboli kolmessa ulottuvuudessa määritellään alaindeksien permutaatioiden kautta seuraavasti ^[2]

${\displaystyle \epsilon _{ijk}={\begin{cases}+1&{\mbox{jos }}(i,j,k){\mbox{ on }}(1,2,3),(3,1,2){\mbox{ tai }}(2,3,1),\\-1&{\mbox{jos }}(i,j,k){\mbox{ on }}(3,2,1),(1,3,2){\mbox{ tai }}(2,1,3),\\0&{\mbox{jos }}i=j,~j=k{\mbox{ tai }}k=i,\end{cases}}}$

eli Levi-Civita-symboli saa arvon ${\displaystyle \scriptstyle \epsilon _{ijk}=1}$, jos ${\displaystyle \scriptstyle (ijk)}$ saadaan parillisella permutaatiomäärällä ${\displaystyle \scriptstyle (1,2,3)}$:sta ja arvon ${\displaystyle \scriptstyle \epsilon _{ijk}=-1}$, jos ${\displaystyle \scriptstyle (ijk)}$ saadaan parittomalla permutaatiomäärällä ${\displaystyle \scriptstyle (1,2,3)}$:sta. Lisäksi, jos Levi-Civita-symbolissa on vähintään kaksi samaa alaindeksiä, se saa arvoksi ${\displaystyle \scriptstyle \epsilon _{ijk}=0}$.

Levi-Civita-symbolia voidaan käyttää ${\displaystyle \scriptstyle A}$:n ${\displaystyle \scriptstyle 3\times 3}$-matriisin determinantin laskemiseen seuraavasti

${\displaystyle detA=\sum _{i,j,k=1}^{3}\epsilon _{ijk}a_{1i}a_{2j}a_{3k}}$,

missä siis ${\displaystyle \scriptstyle a}$:t ovat matriisin ${\displaystyle \scriptstyle A}$ alkioita.

Levi-Civita-symbolin ja Kroneckerin deltan suhteen voi esittää kolmessa ulottuvuudessa seuraavasti

${\displaystyle \sum _{i,j,k=1}^{3}\epsilon _{ijk}\epsilon _{lmn}=\det {\begin{bmatrix}\delta _{il}&\delta _{im}&\delta _{in}\\\delta _{jl}&\delta _{jm}&\delta _{jn}\\\delta _{kl}&\delta _{km}&\delta _{kn}\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \sum _{i,j,k=1}^{3}\epsilon _{ijk}\epsilon _{lmn}=\delta _{il}(\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km})+\delta _{im}(\delta _{jn}\delta _{kl}-\delta _{jl}\delta _{kn})+\delta _{in}(\delta _{jl}\delta _{km}-\delta _{jm}\delta _{kl})\,\!}$

${\displaystyle \sum _{i,j,k=1}^{3}\epsilon _{ijk}\epsilon _{lmn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}}$.

Saatua muotoa kutsutaan Levi-Civita-symbolin identiteetiksi.

• Kroneckerin delta