Egorovin lause

Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan.

Matematiikassa Egorovin lause antaa ehdon mitallisten funktioiden jonon tasaiselle suppenemiselle.

Olkoon (f_n) jono reaaliarvoisia mitallisia funktioita mitta-avaruudessa (X,Σ,μ) siten, että f_n suppenee μ-melkein kaikkialla äärellismittaisessa joukossa A kohti rajafunktiota f. Tällöin kaikilla ε > 0 on olemassa A:n osajoukko B jolle μ(B) < ε ja (f_n) suppenee tasaisesti kohti f:ää joukossa A−B. Tässä μ(B) tarkoittaa B:n (μ-)mittaa.

Toisin sanoin pisteittäinen suppeneminen A:n melkein jokaisessa pisteessä antaa funktiolle f A:ssa paljon vahvemman tasaisen suppenemisen jossain A:ta mielivaltaisen vähän pienemmässä A:n osajoukossa. Lause voidaan todistaa suoraan käyttämällä tasaisen suppenemisen määritelmää ja μ:n subadditiivisuutta. Lauseen antamaa suppenemista kutsutaan melkein tasaiseksi suppenemiseksi. Huomaa, että oletus μ(A) < ∞ on välttämätön Egorovin lauseessa. Tarkastellaan Lebesguen mitan suhteen indikaattorifunktiota

${\displaystyle f_{n}(x)=1_{[n,n+1]}(x),}$

joka on määritelty kaikilla reaaliluvuilla R. Tämä jono suppenee pisteittäin kohti nollafunktiota kaikkialla, mutta ei suppene tasaisesti missään joukossa R−B, missä B on mikä tahansa äärellismittainen joukko.

Egorovin lausetta voidaan soveltaa kompaktikantajaiseen jatkuvaan funktioon, jolloin saadaan todistettua Lusinin lause.

Lause on nimetty Dmitri Egorovin, venäläisen fyysikon ja geometrikon, mukaan.

• Beals, Richard (2004). Analysis: An Introduction. New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-60047-2.
• Weisstein, Eric W., et al. (2005). Egorov's Theorem. Retrieved April 19, 2005.