Hondar (matematika)

Matematikan, hondarra kalkulu batzuk egin ondoren "soberan" dagoen kopurua da. Aritmetikan, "soberako" zenbaki osoa da, zenbaki oso bat beste batekin zatitu ondoren, zenbaki osoen zatidura bat sortzeko (zenbaki osoen zatiketa). Polinomioen aljebran, hondarra polinomio "soberakina" da, polinomio bat beste batekin zatitu ondoren.

${\displaystyle {\mbox{Hondarra = Zatikizuna}}-{\mbox{(Zatitzailea}}\times {\mbox{Zatidura)}}}$

Hondarraren arabera, zatiketak honela sailkatzen dira: zehatzak hondarra zero bada edo zehaztugabeak hondarra zero ez bada.

Oro har, x zati y egitearen hondarra ${\displaystyle \textstyle x{\mbox{ mod }}y}$ eran adierazten da.

Zenbaki oso bat emanda, a, eta zero ez den d beste zenbaki oso bat emanda, frogatu daiteke zenbaki oso bakarrak q eta r existitzen direla non a = qd + r den 0 ≤  r  <| d | izanik. q zenbakiari zatidura deritzo eta r-ri hondarra. (Eragiketa honen froga aztertzeko Zatiketa euklidear kontsultatu)

Hondarrari, horrela definituta, hondar positibo txikiena ala hondarra deritzo. Zenbaki osoa zatitzailearen multiploa izan daiteke, ala honen ondoz-ondoko multiplo biren artean egon daiteke, hau da q⋅d eta (q + 1)d (q positiboentzat).

Kasu batzuetan, komeni da zatiketa egitea modu batean non a d-ren multiplo batetik ahalik eta hurbilen dagoen. Idatzi dezakegu:

a = k·d + s, non |s| ≤ |d/2| k zenbaki oso baterako.

Kasu honeran, s-ri hondar absolutu txikiena derizo. Zatidura eta hondarrarekin gertatzen den bezala, k eta s bakarki determinatuak dira, d = 2n eta s = ±n betetzen den kasuan izan ezik. Salbuespen honetarako:

a = k⋅d + n = (k + 1)d − n.

Hondar bakar bat lortu daiteke kasu honetan konbentzioren baten bidez. Adibidez, beti s-ren balio positiboa hartzea.

23 zati 4 egiterakoan,

23 = 5 × 4 + 3

daukagu, beraz 3 da hondar positibo txikiena. Horrez gain,

23 = 6 × 4 - 1

daukadu, beraz -1 da hondar absolutu txikiena.

Definizio hauek balio dute d negatiboa denean ere, adibidez, 23 zati -4 egitean,

23 = (-5) × (-4) + 3,

3 izanik hondar positibo txikiena. Aldi berean,

23 = (-6) × (-4) - 1

eta -1 da hondar absolutu txikiena.

25 zati 4 egiten badugu, aldiz,

25 = 6 × 4 + 1.

Kasu honetan, 1 da bai hondar positibo txikiena eta bai hondar absolutu txikiena, |1| < |4/2| delako.

Polinomioen arteko zatiketa Euklidearra zenbaki osoen zatiketa euklidearraren antzekoa da eta hondar polinomikoak sortzen ditu. Bere existentzia honako teoreman oinarritzen da: gorputz baten (partikularki, zenbaki errealen ala konplexeuen) gainean definitutako a(x) eta b(x) bi aldabakarreko polinomio emanda (non b(x) zero ez den), existitzen dira bi polinomio z(x) (zatidura) eta h(x) (hondarra) hurrengoa betetzen dutena:

${\displaystyle a(x)=b(x)z(x)+h(x)}$

non

${\displaystyle \deg(h(x))<\deg(z(x))}$

non "deg(...)" polinomioaren maila adierazten duen (beti 0 balioa duen polinomioaren maila negatibo bezala definitu daiteke, baldintza hau bete dadin hau denean hondarra). Honen gainean, z(x) eta h(x) bakarki determinatuak dira erlazio hauez.

Honek zenbaki osoen zatiketa euklidearrarekin desberdintasun bat du: mailaren baldintza r hondarrak dituen mugek ordezkatzen dutela (ez negatiboa eta zatitzaile baino txikiagoa, r bakarra dela ziurtatzeko). Zenbaki osoen eta polinomioen zatiketa Euklidearren arteko antzekotasunak zatiketa Euklidearra burutu daitekeen ingurune algebraiko generalena bilatzera motibatzen du. Eraztunak zeinentzako halako teorema bat existitzen den dominio Euklidearrak deitzen dira, baina generalitate honetan zatitzailearen bakartasuna ez da ziurtatzen.

Polinomioen zatiketak hondarraren teorema deitutako emaitza batera eramaten gaitu: f(x) polinomioa zati x - k egiten bada, hondarra r = f(k) da.

• Biderketa
• Zatiketa
• Aritmetika modularra
• Euklidesen algoritmoa
• Hondarraren teorema txinatarra
• Ruffiniren erregela