Desberdintza

Matematikan, desberdintzak bi adierazpen matematikok balio bera ez izatea adierazten duen ordena erlazioa da.

Adierazpenak multzo ordenatu baten elementuak badira, adibidez, zenbaki arruntak edo osoak, haien artean konpara daitezke.

• ${\displaystyle \ a<b}$ notazioak a txikiago b dela adierazten du.
• ${\displaystyle \ a>b}$ notazioak a handiago b dela adierazten du.

Erlazio hauek desberdintza hertsiak dira eta "hertsiki txikiago" edo "hertsiki handiago" irakur daitezke.

• ${\displaystyle a\leq b}$ notazioak a txikiago edo berdin b dela adierazten du.
• ${\displaystyle a\geq b}$ notazioak a handiago edo berdin b dela adierazten du.
• ${\displaystyle a\neq b}$ notazioak a desberdin b dela adierazten du.

Desberdintzak hurrengo propietateak jarraitzen ditu. Propietate trantsitiboa, batuketa, kenketa, biderketa eta zatiketa mantentzen dira ${\displaystyle <}$ eta ${\displaystyle >}$ ikurrak ${\displaystyle \leq }$ eta ${\displaystyle \geq }$ ikurrengatik ordezkatzen badira.

• Edozein a, b eta c zenbaki errealetarako:
  • ${\displaystyle a>b}$ eta ${\displaystyle b>c}$, orduan ${\displaystyle a>c}$.
  • ${\displaystyle a<b}$ eta ${\displaystyle b<c}$, orduan ${\displaystyle a<c}$.
  • ${\displaystyle a>b}$ eta ${\displaystyle b=c}$, orduan ${\displaystyle a>c}$.
  • ${\displaystyle a<b}$ eta ${\displaystyle b=c}$, orduan ${\displaystyle a<c}$.

• Edozein a, b eta c zenbaki errealetarako:
  • ${\displaystyle a<b}$ bada, orduan ${\displaystyle a+c<b+c}$ eta ${\displaystyle a-c<b-c}$.
  • ${\displaystyle a>b}$ bada, orduan ${\displaystyle a+c>b+c}$ eta ${\displaystyle a-c>b-c}$.

• Edozein a, b eta c zenbaki errealetarako, c ${\displaystyle \neq }$ 0 izanik:
  • ${\displaystyle c>0}$ bada eta ${\displaystyle a<b}$, orduan ${\displaystyle ac<bc}$ eta ${\displaystyle a/c<b/c}$.
  • ${\displaystyle c<0}$ bada eta ${\displaystyle a<b}$, orduan ${\displaystyle ac>bc}$ eta ${\displaystyle a/c>b/c}$.

• Edozein a eta b zenbaki errealetarako:
  • ${\displaystyle a<b}$ bada, orduan ${\displaystyle -a>-b}$.
  • ${\displaystyle a>b}$ bada, orduan ${\displaystyle -a<-b}$.

• Edozein a eta b zenbaki errealetarako, desberdin zero eta biak aldi berean positiboak ala negatiboak izanda:
  • ${\displaystyle a<b}$ bada, orduan ${\displaystyle 1/a>1/b}$.
  • ${\displaystyle a>b}$ bada, orduan ${\displaystyle 1/a<1/b}$.

• a eta b bat positiboa eta bestea negatiboa izanda:
  • ${\displaystyle a<b}$ bada, orduan ${\displaystyle 1/a<1/b}$.
  • ${\displaystyle a>b}$ bada, orduan ${\displaystyle 1/a>1/b}$.

Edozein funtzio monotono eta gorakor desberdintzaren bi aldeetara aplikatzean (bi espresioak funtzioaren definizio eremuaren barne egonda), desberdintza mantentzen da. Hala ere, edozein funtzio monotono eta beherakor aplikatzean desberdintzaren bi aldeetara, desberdintza alderantzikatzen da.

Adibidez:

• a eta b bi zenbaki erreal positibo izanik, logaritmo nepertarra desberdintzaren bi aldeetara aplikatzean,

${\displaystyle 0<a<b\Longleftrightarrow \ln(a)<\ln(b)}$

(hau egia da logaritmo nepertarra funtzio monotonoa eta gorakorra delako)

• a eta b bi zenbaki erreal positibo izanik, funtzio esponentziala desberdintzaren bi aldeetara aplikatzean,

${\displaystyle 0<a<b\Longleftrightarrow \ e^{a}<e^{b}}$

(hau egia da funtzio esponentziala funtzio monotonoa eta gorakorra delako).

Balio absolutua desberdintzaren bitartez defini daiteke:

• ${\displaystyle |a|<b\Longleftrightarrow -b<a<b}$
• ${\displaystyle |a|>b\Longleftrightarrow -b>a\cup a>b}$

a < b < c notazioak ezartzen du a < b (a txikiago b) eta b < c (b txikiago c), eta propietate trantsitiboa aplikatuz, deduzitu daiteke a < c dela. Aurreko propietateak aplikatuz, hiru gaietara zenbaki erreal bera gehitu eta kendu daiteke, edo biderkatu eta zatikatu daiteke (zenbakia desberdin 0 izanik) edo desberdintza alderantzikatu daiteke zenbaki hori negatiboa bada. Beraz, a < b + e < c eta a - e < b < c - e baliokideak dira.

Notazio hori edozein termino kopurutara zabal daiteke: adibidez, ${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq ...\leq a_{m}}$ ezartzen du ${\displaystyle a_{i}\leq a_{i+1}}$ edozein i = 1,2,...,m-1 izanik. Propietate trantsitiboagatik aurreko espresioa eta ${\displaystyle a_{i}\leq a_{j}}$ baliokideak dira, edozein ${\displaystyle 1\leq i\leq j\leq m}$ izanik.

• Inekuazioa
• Berdintza
• Ekuazioa
• Sinbolo matematikoen taula