Unuoglobo

En matematiko, unuosfero estas la aro de punktoj je distanco 1 de fiksita centra punkto; ĝeneraligita koncepto de distanco povas esti uzata. unuoglobo estas la regiono ene de unuosfero. Kutime specifa punkto estas distingita kiel la fonto de la spaco por studi kaj unuosfero aŭ unuoglobo estas centrita je tiu punkto. Pro tio oni parolas pri "la" unuoglobo aŭ "la" unuosfero.

Unuosfero estas simple sfero de radiuso unu. La graveco de la unuosfero estas je tio ke ĉiu sfero povas esti konvertita en la unuosferon per kombinaĵo de translacio kaj homotetio. Tiamaniere propraĵoj de sferoj ĝenerale povas esti uzataj por studi unuosferon.

En eŭklida spaco de n dimensioj, la unuosfero estas aro de ĉiuj punktoj ${\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n}}$ kiu kontentigas ekvacion

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1}$

kaj la fermita unuoglobo estas aro de ĉiuj punktoj kontentigantaj neegalaĵon

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\leq 1.}$

Volumeno de unuoglobo en n-dimensia eŭklida spaco kaj surfaca areo de unuosfero aperas en multaj gravaj formuloj de analitiko. La surfaca areo de unuosfero en n dimensioj, ofte skribita kiel ${\displaystyle \omega _{n}}$, povas esti esprimita per uzo de la Γ funkcio. Ĝi estas

${\displaystyle \omega _{n}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma (n/2)}}}$.

La volumeno de la unuoglobo estas ${\displaystyle \omega _{n}/n}$.

La malfermita unuoglobo en normigita vektora spaco ${\displaystyle V}$, kun la normo ${\displaystyle \|\cdot \|}$, estas

${\displaystyle \{x\in V:\|x\|<1\}}$.

Ĝi estas la eno de la fermita unuoglobo de (V,||·||),

${\displaystyle \{x\in V:\|x\|\leq 1\}}$.

La lasta estas unio de la antaŭa kaj ilia komuna rando, la unuosfero de (V,||·||),

${\displaystyle \{x\in V:\|x\|=1\}}$.

La 'formo' de la unuoglobo estas tute dependa de la elektita normo; ĝi povas havi 'angulojn', kaj ekzemple povas aspekti kiel [−1,1]ⁿ en okazo de normo l_∞ en Rⁿ. La ronda globo estas farita de la kutima hilberta spaca normo, kiu estas en la finia dimensia okazo la samo kiel eŭklida distanco; ĝia rando estas kio estas kutime intencita per la unuosfero.

Ĉiuj tri el la pli supraj difinoj povas esti simple ĝeneraligitaj al metrika spaco, kun respekto al la elektita fonto. Tamen, topologiaj konsideroj (eno, fermaĵo, rando) povas ne aplikiĝi sammaniere (ekzemple, en mezuregaj spacoj, ĉiuj el la triopo estas samtempe malfermitaj kaj fermitaj aroj), kaj la unuosfero povas eĉ esti malplena en iuj metrikaj spacoj.

• Unuocirklo
• Unuokvadrato
• Unuodisko
• Sfero
• Globo (matematiko)
• Normo (matematiko)
• Tabelo de matematikaj simboloj