Μέσο (σημείο)

Στην γεωμετρία, το μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ είναι το σημείο ${\displaystyle {\rm {M}}}$ του ευθυγράμμου τμήματος που ισαπέχει από τα άκρα του, δηλαδή ${\displaystyle {\rm {AM=MB}}}$.^[1]:6[2]:40 Λέμε επίσης ότι το ${\displaystyle {\rm {M}}}$ διχοτομεί το ${\displaystyle {\rm {AB}}}$.

Στο επίπεδο ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, το μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος με άκρα τα ${\displaystyle {\rm {A}}=(x_{1},y_{1})}$ και ${\displaystyle {\rm {B}}=(x_{2},y_{2})}$ δίνεται από τον τύπο:

${\displaystyle {\rm {M}}=\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}\right)}$.

Στον τρισδιάστατο χώρο ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος με άκρα ${\displaystyle {\rm {A}}=(x_{1},y_{1},z_{1})}$ και ${\displaystyle {\rm {B}}=(x_{2},y_{2},z_{2})}$, δίνεται από τον τύπο

${\displaystyle {\rm {M}}=\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}},{\frac {z_{1}+z_{2}}{2}}\right)}$.

Στην γενική περίπτωση του χώρου ${\displaystyle n}$ διαστάσεων, το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος με άκρα ${\displaystyle {\rm {A}}=(x_{11},x_{12},\ldots ,x_{1n})}$ και ${\displaystyle {\rm {B}}=(x_{21},x_{22},\ldots ,x_{2n})}$, δίνεται από τον τύπο

${\displaystyle {\rm {M}}=\left({\frac {x_{11}+x_{21}}{2}},{\frac {x_{12}+x_{22}}{2}},{\frac {x_{13}+x_{23}}{2}},\dots ,{\frac {x_{1n}+x_{2n}}{2}}\right)}$.

Το μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος μπορεί να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη ως εξής:

1. Με τον διαβήτη χαράζουμε δύο κύκλους με κέντρα τα ${\displaystyle \mathrm {A} }$ και ${\displaystyle \mathrm {B} }$ και ακτίνα ${\displaystyle \mathrm {AB} }$.
2. Βρίσκουμε τα σημεία τομής ${\displaystyle \mathrm {T} _{1}}$ και ${\displaystyle \mathrm {T} _{2}}$ των δύο κύκλων.
3. Η ευθεία που ενώνει τα ${\displaystyle \mathrm {T} _{1}}$ και ${\displaystyle \mathrm {T} _{2}}$ είναι η μεσοκάθετος του ${\displaystyle \mathrm {AB} }$ και το σημείο τομής της ${\displaystyle {\rm {M}}}$ με την ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ είναι το μέσο.

Βήμα 1ο

Βήμα 2ο

Βήμα 3ο

Το μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος είναι μοναδικό. Ανάλογα με τα ποια αξιώματα επιλέγονται για την θεμελίωση της γεωμετρίας, η μοναδικότητα μπορεί να είναι αξίωμα ή θεώρημα.^[1][2]

• Μεσοκάθετη ευθύγραμμου τμήματος
• Διάμεσος

• Διαδραστική εφαρμογή για μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος στο Geogebra.
• Διαδραστική εφαρμογή για μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος στο Geogebra.
• Animation - παρουσιάζει τα χαρακτηριστικά του μέσου ενός ευθυγράμμου τμήματος