������ �������������� ����
RUS  ENG    �������   ����������   �����������   �����������   ��������   ���������   ����� AMSBIB  
����� ����������
��������� ������
�����
������-������
������� ��� �������
��������� ��������
������������ �������

����� ����������
����� ������

RSS
��������� ������
������� �������
�������� �������
��� ����� RSS



���:
���:
���:
������:
��������:
�����






������������ ����:
�����:
������:
��������� ������
�����
������ ������?
�����������


������ �������������� ����, 2021, ��� 76, ������ 4(460), �������� 183–193
DOI: https://doi.org/10.4213/rm10015
(Mi rm10015)
 

�������������� �����

����� ��������� �������� (� ��������������� �� ��� ��������)

�. �. ���������, �. �. ��������, �. �. �������, �. �. ��������, �. ����������, �. �. ����������, �. �. ��������, �. �. ��������, �. �. �������, �. �. ��������, �. �. �������, �. �. ��������, �. �. �����������, �. �. ���������, �. �. ��������, �. �. �������, �. �. �����, �. �. �������, �. �. �������
������ ����������:
������������ ������:
Russian Mathematical Surveys, 2021, Volume 76, Issue 4, Pages 733–743
DOI: https://doi.org/10.1070/RM10015
������������ ���� ������:
��� ����������: Personalia
MSC: 01A70

����� ��������� �������� ������� 8 ������� 1950 �. � �. ��������� (���� ������) � ����� ��������. ��� �������� – ������ ����������� �������� � ����� ���������� ���������� – ���� ������������ ����������. ��� ����� �� ���������� – �� �������� � �������, ��� ����� ��������� � ����� ������������ � ����� ����. ����� ��������, ��� �������������� ����������� � �������������� ������� ������������ �� ���.

������ ���� � ����� ����� ������� �������� ����������� ���������� ������ ������������ �������, � ������� �� ������ � 1963–1965 ��. � ���������. ������ �� ������� ��������� � ���������� (� ����� ������ ���������� �. �. ������������) ���������� ���-18, ����� ��������� ��� “�������������� ��������”. �������� ���� � �����. ��� ���������� ������� � ��������� � 1965 �., ����� 8-�� ������, �� ����������� ������� �� ���������� ���������. � 1967 �., ������ � 10-� ������, �� ������� ���������� ������ �� ������������� �������������� ��������� � ��� �������� �� ������.

���� � ���������, ����� �������� ��������� ���������� �������� (����� ��� � �������, � ���������), ���� ���������� � ������� ������ � ����� �� ������� ���.

� �������� 1969 �. ����� ����� ���������� �� ������� ���������������� ��������� � ��������� � ������ ��������� ��������. ����� ��������� ��� �� ������� “�������” ����� � ����������� ��� �� ����������� ���������������� ������������ � ��������� ������ � �. �. ���������.

����� ��������� ����������� ����� ���� �������� � ����� (�������������� �������� ��. �. �. ��������������). ��� ���� �������� ��������� ������ �� ����� ����� � ��������� �����������. ��� �� ����� ���� ������ ��� ����� �� ����� ������������ � ��� �����. � ����� ����� ���� �������� ���������, ������� ��������� ����, ��� ��� ������� ����������, � ����� � �������� ����, �� ������� ������� ��������� ������� ����������� ����������: ������ ���������� � ���� �� �������������� �������������.

� 1972 �. ����� ������� �� �. �. ����������, � � 1974 �. � ��� �������� ���� �������, ���� ��������� �������, ���������. ����� � ������� ������� ������ ����� ��� ������ �� �� ������������ ������� � ������ 2013 �.

�� ������ �������� 1980-� �. �. �������� ������� ������� � ��������� ������� �������� �� ����. ����� ���� ���� ������ � ��������� ������������� ������ ��. �. �. ������, ��������� � ������� ������� �� �������. � 1988 �. ����� ��������� ������� ������ �� ����������� � “���. ������”, � ������ � ��������������, � �. ������ (�� ����� ���, ��� ������, �� ������� ���� � ��������). � 1996 �. �. �. �������� ������ ����������� � ���� ����������� ������������� ������������ (���-����, ���), ��� ��������� �� ��� ���, �������� ��� � ������� � ��� ��. �. �. ������, ����, ��� � ��������.

� ����� 1960-� – ������ 1970-� ����� � ����� �. �. �������� � ������ �������� ���� ������ ����������� � ������� �������������� ���������. �� ���� ���� �������� ������� ������������� ������ (1971–1976) � ����� ���������� ������� ������������ � ��������� ���������� ����� ��. ��� ���������� ������ ������� ���������� �. �. ���� � �. ����������, ���������� �� ������ ���������� ������� ����–�������. �������� �������� ����� ������, ������������ ���������� ������������� �������� ����������� �������–������. �� ���� �������������� ��� ���������� �� ���������� � ������ ���������� �����, ������� ������� ����������� ���� ����� ��� �������� ������ $S^1$ �� ����� ����������� ������������� � ������ �������, ��� ������� ��� �������� �������, �. �. ����������. �� �������� � ���� ���� �������, ����� ������� �������� ���� ���������� � �������� ������� � ��������� �������������� ���� ��� �������� ������ $S^1$ �� ��������� �������������. � 1990 �. �������� ����������� ������, � ������� ���� ��� ���������� �� ������ ������������� ������� �������–�������� � �������, ��� ��������������� ��� �������������� ��� �������� ������� ��� $S^1$-������������ � ������� ������ ������� �����. ���� ��� ������� ������� ����������� � ����� ��� ������ ����������. ������ � ������� ���������� ���� ��� ���������� ����� ���������. ������� ��������� ����������� ��������������� ���� ��������� �������� ������������� �������������� ��� � ������ ��������� ��� ����������� ��� �������� ����� �� ��������� ����������� ������������� (�. �. ���������, �. ���, 2007) � ������� ������ ����� ���� (�. �. ���������, �. ���, �. �. �����, 2010), ������� ������ ������������ ������ � ������� ���������� ���������.

� 1975 �. �. �. �������� ������� ������������ ����������� �� ���� “���������� ������ � ����������� ��������������� �������� ���������� ����� ��”. � ����� ������� ��� ���� ��������� ������ �. �. ��������, �. �. ���������, �. �. �������� � �. �. ����, ����������� ������������� ������������� ������� ������ ��������� � ��������� ��������, � �. �. ������� ��������� ��������� ������������ � �������� �� ������ ���������. ����� ��������� ������ ���� � ���� ���� ������� � ������� � 1975 �. �������� ��������� ������������� �����. ��� ���� ��������� ��������� ���� ���������.

1. �. �. ��������, ������ ��������� ������������� ���������� � ���� �������, �������� ����� ���������� ������ �� �� �������������. ������ ��������� � ������ 1920-� ����� ����� �� ���� ��� ��������.

2. �. �. ������� �������� ������ � ���������� ������������������� ������� ��� $(2+1)$-������� ���������–����������� (��), �������������� ��������������� ������� ���� ��������� �� ����� ������� � ������� �. �. ��������–�. �. ������ � �. �. �����.

� ������� ��������� ��� ��� �������� ���� ������ � ������ ������ ������ � ������ ��� ������������� ���������� ������� ������� ��������. � [1] ���� ���������������� ��������� ��. ��� ���������, ������� ����������� � ������ ������, ��������� �������� ��������������� ���� � ���������� �������� � ���������� ���������� ������ ����. ���������� �������-�������������� ������� ��������� �� � [1] ���� ������������ ���������� � �������������� ������������ �� ����������� ������� �������–��������. ��� ��������� �������� � ������������ �������������� ������ $\Gamma$, �� ������� �������� �����, ������������ ��������� �������� $z=1/k$ � �� ����������� � ������ ������� $D$ �������, ������ ���� ������. ����� � ����� ��������� ���������� ������������ ������� $\psi(\gamma,x,y,t)$ �� $\Gamma$, ��������� �� ���������� $x$, $y$, $t$ � ���������� ���������� ����������:

�� ������������� � �������������� ����� ������� �������� ���������, ��� ��� �������� ����������� �������� ���� �������� ����������, �������� � ���� ����� ��� ��, �, �������������, ���������� ���� ���������� ������������� ��. ����� ������� ��� ������� � �������� ����-������� ������ ���� ��������� �. �. ���������� � ������� [3], [4].

�� ���� ����� ������� ��������� ����������� ������������.

�) ������ ������������� ��������� ���������� ��������� �������-�������������� �� ����� ������ ������� � ��������� � ���� �������, ���������� L-A-B-�������� �������� (���������� ��������� ������������� ������ ��. �. �. ������) ������ L-A-��� �����. � 1976 �. �. �. ������� �������� ������������� ��������� � ����� ����������������� �����������, ����������� ������������� ���� $\partial_t L=[L,A]+BL$, ����������� � ������������� ����� ����� ����������� �� ������� ������� �������. ������������� ������ �� ����� ������ ������� ����������� ��������� � ������ �������� ����, ��������� �� ������������ �������� (���������������) �������� ��������� � ��������, ������ ������� �����. ����������� ������ ������� �������������� �����������, ���������� ������� �����, ���������� �����-������������, � � ��������� ������ – �����-������. � ������ ���������, ��������� � �������� [2] ���� ������� ������ ������� ������������� �� ����� ������ ������� ��������� ���������� ���������, ��� ������� �����-������ ����� �������������� ����������� ����������� ����������� ������ ��������� ����. ��� ��� ��� ����������, ��� � ����������� �������, ���������� ������� �����, ���� ���������� � ����-�������� ������.

� ������ [15] 1989 �. �. �. �������� �������� ������������ ������ ����� ��������� ������������� ���������������� ���������� �� ����� ������ �������. �� �� ������ ���� �������� ��������� �������-�������������� ������� ����� ������� ������������� ������ ��� ��������� ��-2, � ����� ��������� �������-�������������� ����������� ����� ������������� ����������� ���������� ��������� ���������. ��� ������ ������� �������� ������� ��������, � ��� ����� � ������� ��������� � ��� ��������� � ��������� � ����� ��������� �����.

� ������� �. �. �������� � �. �. �������� ���� ������� ��������, ���������� ���������� � ������� ��������� �����, ��� ������� ��������� ������ � ����������, � �������� ������������ � ���������; � ������� �. �. ���������, �. �. �������� � �. �. �������� ���� �������� ������, ���������� ����� ��������� ����������. ������������� ����� �� ���� �� �������� �� $M$-������, ������������ � ������� ��������–��������, ��� ��� � �������� ������ �. �. �������, �. �. ��������� � �. �. ��������� [27].

b) ����� ��������, �� �� ����������� ������ �. �. ���������� (� �. ��������) �������� � ������� ������� ����������� ����� ������������� ������������� ��� ���������� �� ������� ������� ��������, � ����� ��������, ��� ��� ������������� ���� ������������ ���������� � ������� ������� ��. ��� ���������� ��������� ���������� ��������� ���������� ��� ���������� �������������. ��� � ������� ������� ��� ��������������� ���������� �������� ���� ���, �����������, ������, ��� ������������� � ����� �. �. ������ [6]. � ���������� ������������� ���� �����������.

� ��� ����� ����������, ��� ������������� ���� ���������� ������� ������� �������� ��������� ���������� � ������ � 1920-� �����. ��� �������, ��� ��� ���������� �� ������� ������� �������� ��� ��������������� ��������. ����� ������ �� ������ ������ ��������� ��������� ������������� ����-������� ��� �������� ����� ����������� ������� ���� ����������, �� �� ���������� ��� ���������. ������ ��� ���������, ������ � ������������ � ������ ���������, ���������� ��������. ������� � �������� ������ ���������� ������� �������� ���������–������ ������������� ��� ������������� ���������� �� ������� ������� ��������. �� ����� �� ������� ���������� ����� ����������� ������� �, ����� �������, ������� ��������������� ���������, �� ������� ������� �������� � ������.

� 1984 �. �������� ������� ���������� ����������� �� ���� “������ �������������� ��������� � ������ ���������� ��������� � � ��������� ������� ������ �������� ����”.

c) ������ ����������� ������������, �������� �� ����� ���������, ��������� �������� �������� �� ������������ �������� ������: ��� ���������� �������� �������� �������������� ������ �� ����� �������� ������������? ��� �������� ������ �� 1986 �. ���������� ����� �� ����� ������ � ���������� ������� �������������� ���������. ������� �������� ������ � ������ ��������, ��������� � �� �������, �������� ������� � ������ [22].

������� ���� ��������� � ���������� � ������� ���� ��������. ����������� ��������� ������������� ������� ��������� �� ������� �������� � ��������� ��������: �������������� $(g\times g)$-������� $B$ � ������������ ������������ ������ ������ �������� �������� $b$-�������� ������ ������������� ����������� �������������� �� ��������� ������� �������������� ������ ���� $g$ ����� � ������ �����, ����� �������� $g$-������ ������� $U$, $V$$W$ �����, ��� �������

$$ \begin{equation*} u(x,y,t) =2\partial^2_x\log\theta(Ux+Vy+Wt+Z\mid B) \end{equation*} \notag $$
��� ������ $Z\in\mathbb{C}^g$ �������� �������� ��������� ��
$$ \begin{equation*} 3u_{yy} = (4u_t - 6uu_x + u_{xxx})_x, \end{equation*} \notag $$
��� $\theta(Z\,|\,B)$ – ��� ����-������� ������ ��������������� ������� ������������ $\mathbb{C}^g/\{\mathbb{Z}^g+B\mathbb{Z}^g\}$.

������ ���� � ����������� �������������� �������� �������� ���� ������� �. �. ���������� (1981), �. ���������–�. �� ������� � �. ������. ������������� ������� ������� �������� ��������� �. �����, ������ �. ��������, ��������� ��� ������, � 1986 �.

������� ���� � ������������ ������������� ���������� � ������������� ������� � �������� ������ ��������. �. �. ��������� � �. �. �������� ������� ��� ���������� � ������ �������� ������. ��� ���� ������� ������� $g$-������� ��������������� ��������� ����� $N$, ������� �������� ������� ��������� ����� $N$, � ���� ��������, ���

1) ����-������� ������ ������� $g$-������� ������������ �������� ��������� ����� $N\leqslant2^g-1$;

2) ���� ����-������� ��������� ������ ���� $g$ �� ����������� $g$.

� ���������� ���� ��������� �������� ����������–��������� (1993): ������� $\theta(Z\,|\,B)$ ����� ���� $N$, �� ������������� $g$, ����� � ������ �����, ����� $B$ �������� �������� $b$-�������� ����������� �������������� �� ��������� ����������� ���� $g$. ��� �������� � �������� ������ ��������� ���������� ��������������� ��������� ����� $N$ ���� �������� �. �. ���������� � ������� 2004 � 2005 ��.

� �������� 1980-� �����, ����� ��������� ��������� ��������–��������, ������� �������� ���������� ����� ����-������� ���������� �������� ��������� ������������ � ����� ������� ���������, �. �. ������� �������� ������ ����� ��������: ������������ ����� ����� �������� ���������� ������������ ���������� ����-�������������� ������ � ��������� ��������–��������. �������������� ���� �������� � ��������� �� ������������ ��������� ���� �������� �. �. ����������.

� ������ 2000-� ����� �������� ��������� ��������������� ������������ ����� � ����� �� � �������� ���������� ���������, � ����������� ��������� � ���� �������� �����. ���� ������ �������� ��� �������� ����� ������� �������� ������ ��� ������������ �����, ������ ����������� �������� ��� ������������ ����� � �������� ��������� � �������������� ��������� �������� �������� � ������� �������. �������� �������, ��� ������������ ������ �������������� ������� ������������ $\mathbb{C}^g/\{\mathbb{Z}^g+B\mathbb{Z}^g\}$ �������� ������������� ����� ��������� ����������� ����� � ������ �����, ����� ���������� ����� ���������� $p$, $E$$g$-������ ������� $U$, $V$, $A$, ��� �������� ���������

$$ \begin{equation*} \bigl(\partial_y-\partial^2_x+u(x,y)\bigr)\psi=0 \end{equation*} \notag $$
� ����������� $u=2\partial^2_x\log\theta(Ux+Vy+Z\mid B)$ ����� ������� ����
$$ \begin{equation*} \psi =\frac{\theta(A+Ux+Vy+Z\mid B)}{\theta(Ux+Vy+Z\mid B)} \exp(px+Ey). \end{equation*} \notag $$
��� ������������ ����� ������ �������� ������ �������� ��������� �������� ���������: ������������ ������ �������������� ������� ������������ $\mathbb{C}^g/\{\mathbb{Z}^g+ B\mathbb{Z}^g\}$ �������� ������������� ����� ����������� �������� ������� ��������� ����������� ���� $g$ � ����� ������� ��������� ����� � ������ �����, ����� ���������� $g$-������ ������� $U$, $V$ � ���������� $C$, $p$, $E$ �����, ��� ���������
$$ \begin{equation*} (\partial_x\partial_t+u)\psi=0 \end{equation*} \notag $$
����������� ���
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, u & =2\partial_x\partial_t\log\theta(A+Ux+Vt+Z\mid B)+C,\\ \psi & =\frac{\theta(A+Ux+Vt+Z\mid B)}{\theta(Ux+Vt+Z\mid B)} \exp(px+Et). \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
� ����� ������� $\theta$ – ��� ����-������� ���������������� ������� ������������.

� ������ [25] �������� ������ � ���������� ��������, ��� ������ �������������� ������� ������������ �������� ������������� ����� ����� � ������ �����, ����� � ������������ ������� ���� ���� ������������ ��������� ������� ���������� (��� �������������� ���������� � ��� ������, ��� ����� ������� ��������� ���� � ������ ��� ��������� ���� $z\mapsto a-z$ ������� ������������). ��� ����� ������������� ������ � ���������������� ���������� ������ �������� ��������–��������.

������ ������������ ����� ���������, �������� ������� [5], ���� ��������������� �������-��������������� ������ �������������� �� �������, � ������� ��� ���������� ��� ����� �� ���������. � ����� �����, ����� �� ������� ��������� � ����������� � �. �. ������������, �. �. ���������� � �. �������� (��. [7]–[10], [14]), ���� ���������������� ���������� ������ ��������–������� � ����������� �� ����������. ���� ������� �������� ��������� ������, � ����� ����� ����� � ��������� ��������� � ����������� ������. ������ �������� ��������� ��������� ���� � ������� ���������������� ���������� �� ���� ���������� ��������������� ������� ��-�� �������������� � ����������� ����� �, ��� ���������, ������� � ��������� ��������������.

� ������ 2000-� ����� ���� ��������� ��������������� ������ �������� � ���������, ����������� ���������� ������������� ����������. � ����������� ���� �������� ������������ ����������� � ������������ ���������� ������������� ������.

� ������ [13] �������� �������� �������-�������������� ������ ���������� ��� ��������� ������������� ��������� ������ ���������, ����� ��������� ������ ��� ����������� ������� ��������� ���� ��������� �� � ��� ����������� �� ������ �������.

����� ������ (1965) ��������� ������� ������ ����� ������ ������������� ��������������� ������� ���������� ������������ ���������. � ������������ ���� ����� �������, �� ������� ���� �� ������� �����, �������������� � ����

$$ \begin{equation*} w(x,t,\varepsilon) \approx f\biggl(\frac{S(x,t)}{\varepsilon}+\theta(x,t),I(x,t),x,t\biggr), \end{equation*} \notag $$
��� $\varepsilon$ – ����� ��������, ��������������� ������� ����������, $t$ – �����, $x$ – ���������������� ���������� (������ ������, $n$-������). ������� ������� (����) $S(x,t)$ ����� ���� ��������� – � ���� ������ ������� �� ����������� ��������������� ��������, ��� ��������������� – � ���� ������ ������� � ������������ ��������������� ��������; ������� (������-) ������� $\theta(x,t)$ ���������� ������� �������.

������������ ����������� $w$ ���������, ��������, �������������� ����� ����, ������� ��������� �������� ������� �� �������. � ���� ������ ������� $f$ ���������� ����� ������������� ������������� ������� (����� ����-������� ������), ������� ���� �������� � ������� �. �. ��������, �. �. ���������, �. �. ��������, �. �. ����. �� ���� ���� ���� ������� ����� ������������ � ������� �. �. ����������� � �. �. ������� (1979) � �. ������, �. �. ������� � �. �. ���������� (1980).

������ ���������� ����������� $w$ �������� � ���������� “�������� ���������� ����������” (�������) $I(t,x)$. ����� ��������� ��� $I$ ����� �������� ������� ����������, ��������� �� ������������ ���������� � ���������� �������������� �� ���������� $\tau$ �� ������ c ��������� $2-\pi$ (��� �� ��������������� ������ �� ���������� $y$) ������� $f$ � �� �����������. � ������, ����� $x$ ���������, � ������������ ��������� ��������� �� ������� �� $t$, $x$, ��� �������, � �������� �����, ������������ � ���� $I_t=G(I)I_x$, ��� $G(I)$ – ���������� �������. ��� ��������� � ���������� ����������� ������. “������� �����” ���������� $I$ ��������, ��� ��� ������������ ����� ���������� ������, � ������� $G$ �����������.

� ������ ������� ��������� ��������� ������ ��������� ��� ����������� ������� ����, ��� ��������������� ������� �������� ������������ �� �������� ������� $t\approx\varepsilon^{-1}$. �����, ������������ ����������, ���� ����� ������ ������ � ����� ����������� ����� ��������� ������ ��� � ������ ����� ���������������� ����������.

���������� �������� ����, ���������� � ������ [13] (� �����, �������, � [17]), ������� � ������ ����������� ��������������� ����, ����������� ��� � ������ ������������� ������, ��� � � ����������������� ������� ����–������ ��� $N=2$. ��� ���� ������� � ����� ���������� ����� �. �. ��������� � �. �����, ������ �� �������, [19], ��������� � 1997 �. � ���� ������� ���� ���� ��������������� ��������� ����� ���� ���������� ���� ������, �������������� �� �������� �����, ���������� ��������-����������� (�������, ������, ����� � ��.) � 1994–1995 ��. ���������� � ������ � ����� ���� ���� �������� ��������������� ��������� �����, ������ ����� ������ � ���������� ���������� “��������-����” ��� ������������� ������. � ���������, ���� �������� ��������� ������� ��������–�������� ��� ������������� ������ �������� �� ������, ����� ������������ ������ �� �������� �������������������.

�. �. ��������, ��������� � �. �. �������, �. �. ����������, �. �. ��������� � �. �. ��������� [18], ������� ��������� ����� ������� �������–�������� ����������������� ������������� ������ ��� $N=2$ � ������� ������������� ������. ������ [18] ����� ��������� ������ �������������� ������������. ������ ������ �� ���� ���� ������� ��������������� ������ [17], � ������� ���������� ���� ������� � ���������� �������� ����������������� ���-�������. ���������� ���� ������ ����� � �������� ���������� ����� � ����������� ����� �������������� ��������, ��� ������ ������ ������������� ������–���������.

�. �. ����������, � ����� ����� � �. ��������, �. �. ���������� � �. �. ����������, ���� ����������� ����� ������ ���������������� ��������������� ������� ���� � �������� ������������� ����� � ������� ������ ������� ���������.

� ����� ����� [11], [12], [16] �������� � ������� ��������� ��������� ������������ ����������� ������, ������������� � ������������� ������������ ��������. ��� ���� ��� ���������� ������� ������ ����������� � �������� ��� ��������� ������������, ��������� ���� ��� ������� ���������–��������. ��� ������� ������������ ����� ����� ����� ������ – ����� �������������� �������. �������� ����� ���������������� �������� ������������� ����� ��������� ���������������� � �������� ����������. ��� ��������� ������������� �������������, ����������� ������� �������� (��������� ������������), � ����� ������������� � ������������� ��������������� ������� ����. ��� ������ ��������� � �������� �������� �������� � ��������� � ������ ����� ������ � ���� �����, � ��� ����� � ���� ����������� – �. �. �������� (2012) � �. ������������ (2014).

� 2001 �. �������� �������� ������ ��������� ����� � ��������� ������� �������� �� �������������� ������ ������������� ���� � ��������� ������� ��������� ��������� ������� �������.

��� ������� ����, �������� � ������� ������� ������� �������� ���������– ������ � ����������� ����������� ������� ����� ������ $1$ ���������� ���������. ��� ������� � ������������� ���������� ���������� � �� ����������, ��������� ����� �. �. �������. ��������� ��� ����, �������� [20] �������� ������������� ����� (������� ��������) �� ������������ ���������� �� ��������� ����������� ������������� ����, ������ ������������ ������ ��������������� ������ � ������� �� �������-��������������� ��������������. � ������ ��������� ����� �������� ������� ��������� ��������� ����� ������ �������� ������� ������� � ���������–������.

����� �. �. ��������� � �. �. ���������� ���� ��������, ��� ��������� ������� �������� �� ��������� ����������� �������������� ���� �������� �����������������. �������� ���� ��������� ������ � ��������� ����� � ��� ����� ����� �������� ������������������. � ���������� �������� ���������� � ����� ������, ������� ��������� ��� � �������� ������� � ���������–������, ��� � � ������������ ������������� ��������. � ������������� � ��� �� ���� ������ [21] �������� �������� ��� ������� � ���������� �������������� ���������� ��� ���������� �� ��������� ������������.

� ������ [23] ���� ��������, ��� ��� ������������� ���������� ������ ��������� ����� �������� ������������� �������, � � ������ $G$-���������� (��� $G$ – ����������� ����������� ������ ��) ��� �������� ������� ��, ��������� ��������� ���������� �����. ������� ���������� �����, ��� � ������� ���������–��������, ����������� ������ ����� �������������� ������ ��.

� ��������� ����� �������� ������ � ���������� ������ ����� ������ � �������� ��������� � ��������� ������������ ������� ��������� ������������, ������������ �����������-������������� �������������. ����������� �������� ����� �������������� �������� � ����� ��������� � ���������–����� � � ������� ������� ���� ������������ ��������� ������ ������, ������������� ����. � ������ [24] �. �. ���������� ��������� � �. �. ���������� �������� ����� �������� �������������� ������������ ������� �����: ����� ���������� ����������� ��������������� � ������������ ������� ������ $\mathcal{M}_g$ ����� ����������� ����������� �� ����� $g-2$, � � ����������� ������ [26] ���� �������������� ����� ����� �������� ���������: ����� ���������� ����������� ��������������� ����������� $g-n$$\mathcal{M}_g$ ���������� ����� ������������.

���������� ���� �� ������������� ������� �����, �� � ������������� ��������, ��� ������ �� ������ ����� ������� ������ �, ��� ������, ������� ��������� � ���������. ������ ������ �. �. ��������� ���������� ������� � �������������, ������������ � �� ������������� ����� ��������� ������ ������������� ������������ ��������.

������ ����������

1. �. �. ��������, “�������-�������������� ���������� ��������� ��������–������ � �� ������������� �������”, ����. �� ����, 227:2 (1976), 291–294  mathnet  mathscinet  zmath; ����. ���.: I. M. Krichever, “Algebraic-geometric construction of Zakharov–Shabat equations and their periodic solutions”, Soviet Math. Dokl., 17:2 (1976), 394–397
2. �. �. ��������, �. �. ��������, �. �. �������, “��������� ���������� � ������������� ���� � �������� �����������”, ����. �� ����, 229:1 (1976), 15–18  mathnet  mathscinet  zmath; ����. ���.: B. A. Dubrovin, I. M. Krichever, S. P. Novikov, “The Schrödinger equation in a periodic field and Riemann surfaces”, Soviet Math. Dokl., 17 (1977), 947–951
3. �. �. ��������, “������ �������������� ��������� � ������ ���������� ���������”, ���, 32:6(198) (1977), 183–208  mathnet  mathscinet  zmath; ����. ���.: I. M. Krichever, “Methods of algebraic geometry in the theory of non-linear equations”, Russian Math. Surveys, 32:6 (1977), 185–213  crossref  adsnasa
4. �. �. ��������, “�������������� ���������� ��������� �������� �������������� ���������”, �����. ������ � ��� ����., 11:1 (1977), 15–31  mathnet  mathscinet  zmath; ����. ���.: I. M. Krichever, “Integration of nonlinear equations by the methods of algebraic geometry”, Funct. Anal. Appl., 11:1 (1977), 12–26  crossref
5. �. �. ��������, “�������������� ������ � ���������� ���������� ���������”, ���, 33:4(202) (1978), 215–216  mathnet  mathscinet  zmath; ����. ���.: I. M. Krichever, “Algebraic curves and non-linear difference equations”, Russian Math. Surveys, 33:4 (1978), 255–256  crossref
6. �. �. ��������, �. �. �������, “����������� ���������� ��� ��������������� ������� � ���������� ���������”, ���, 35:6(216) (1980), 47–68  mathnet  mathscinet  zmath; ����. ���.: I. M. Krichever, S. P. Novikov, “Holomorphic bundles over algebraic curves and non-linear equations”, Russian Math. Surveys, 35:6 (1980), 53–79  crossref  adsnasa
7. �. �. ��������, “������������ ������ ���������� ����������, �������������� ��������� � ������ ��������”, � ��.: “��������� �������� ����� �. �. ����������� �� ���������������� ���������� � �������������� ��������� ������”, ���, 37:2(224) (1982), 259–260  mathnet
8. �. �. ��������, “�������-�������������� ������������ ������ ����������� ��������� ���������� � ������ ��������”, ����. �� ����, 265:5 (1982), 1054–1058  mathnet  mathscinet  zmath; ����. ���.: I. M. Krichever, “Algebro-geometric spectral theory of the Schrödinger difference operator and the Peierls model”, Soviet Math. Dokl., 265:1 (1982), 194–198
9. �. �. ��������, “������ ��������”, �����. ������ � ��� ����., 16:4 (1982), 10–26  mathnet  mathscinet; ����. ���.: I. M. Krichever, “The Peierls model”, Funct. Anal. Appl., 16:4 (1982), 248–263  crossref
10. �. �. ��������, “������������ ������ ‘�������������’ �������������� ���������� ���������. �������������� ������ ��������”, �����. ������ � ��� ����., 20:3 (1986), 42–54  mathnet  mathscinet  zmath; ����. ���.: I. M. Krichever, “Spectral theory of finite-zone nonstationary Schrödinger operators. A nonstationary Peierls model”, Funct. Anal. Appl., 20:3 (1986), 203–214  crossref
11. �. �. ��������, �. �. �������, “������� ���� ��������, �������� ����������� � ��������� ������ ���������”, �����. ������ � ��� ����., 21:2 (1987), 46–63  mathnet  mathscinet  zmath; ����. ���.: I. M. Krichever, S. P. Novikov, “Algebras of Virasoro type, Riemann surfaces and structures of the theory of solitons”, Funct. Anal. Appl., 21:2 (1987), 126–142  crossref
12. �. �. ��������, �. �. �������, “������� ���� ��������, �������� ����������� � ������ � ������������ �����������”, �����. ������ � ��� ����., 21:4 (1987), 47–61  mathnet  mathscinet  zmath; ����. ���.: I. M. Krichever, S. P. Novikov, “Virasoro-type algebras, Riemann surfaces and strings in Minkowsky space”, Funct. Anal. Appl., 21:4 (1987), 294–307  crossref
13. �. �. ��������, “����� ���������� ��� ��������� ‘�������������’ ���������”, �����. ������ � ��� ����., 22:3 (1988), 37–52  mathnet  mathscinet  zmath; ����. ���.: I. M. Krichever, “Method of averaging for two-dimensional “integrable” equations”, Funct. Anal. Appl., 22:3 (1988), 200–213  crossref
14. �. �. ������������, �. �. ��������, �. ������, “����� ����� ���������� ������������ ������� � ������ ��������”, ����, 94:7 (1988), 344–354  mathscinet; ����. ���.: I. E. Dzyaloshinskiĭ, I. M. Krichever, J. Chronek, “New method of finding dynamic solutions in the Peierls model”, Soviet Phys. JETP, 67:7 (1988), 1492–1498
15. �. �. ��������, “������������ ������ ��������� ������������� ���������� � �� ����������”, ���, 44:2(266) (1989), 121–184  mathnet  mathscinet  zmath; ����. ���.: I. M. Krichever, “Spectral theory of two-dimensional periodic operators and its applications”, Russian Math. Surveys, 44:2 (1989), 145–225  crossref  adsnasa
16. �. �. ��������, �. �. �������, “������� ���� ��������, ������ �������-�������� � ����������� ���������� �� ��������� ������������”, �����. ������ � ��� ����., 23:1 (1989), 24–40  mathnet  mathscinet  zmath; ����. ���.: I. M. Krichever, S. P. Novikov, “Algebras of Virasoro type, energy-momentum tensor, and decomposition operators on Riemann surfaces”, Funct. Anal. Appl., 23:1 (1989), 19–33  crossref
17. I. M. Krichever, “The $\tau$-function of the universal Whitham hierarchy, matrix models and topological field theories”, Comm. Pure Appl. Math., 47:4 (1994), 437–475  crossref  mathscinet  zmath; (1992), 34 pp., arXiv: hep-th/9205110
18. A. Gorsky, I. Krichever, A. Marshakov, A. Mironov, A. Morozov, “Integrability and Seiberg–Witten exact solution”, Phys. Lett. B, 355:3-4 (1995), 466–474  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa; (1995), 13 pp., arXiv: hepth/9505035
19. I. M. Krichever, D. H. Phong, “On the integrable geometry of soliton equations and $N=2$ supersymmetric gauge theories”, J. Differential Geom., 45:2 (1997), 349–389  crossref  mathscinet  zmath; (1996), 38 pp., arXiv: hep-th/9604199
20. I. Krichever, “Vector bundles and Lax equations on algebraic curves”, Comm. Math. Phys., 229:2 (2002), 229–269  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa; (2001), 42 pp., arXiv: hep-th/0108110
21. I. Krichever, “Isomonodromy equations on algebraic curves, canonical transformations and Witham equations”, Mosc. Math. J., 2:4 (2002), 717–752  mathnet  crossref  mathscinet  zmath
22. �. �. ���������, �. �. ��������, “������������� ���������, ������� �������� � �������� ������–������”, ���, 61:1(367) (2006), 25–84  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; ����. ���.: V. M. Buchstaber, I. M. Krichever, “Integrable equations, addition theorems, and the Riemann–Schottky problem”, Russian Math. Surveys, 61:1 (2006), 19–78  crossref
23. �. �. ��������, �. �. �������, “������� ���������� �����”, �����. ������ � ��� ����., 41:4 (2007), 46–59  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; ����. ���.: I. M. Krichever, O. K. Sheinman, “Lax operator algebras”, Funct. Anal. Appl., 41:4 (2007), 284–294  crossref
24. S. Grushevsky, I. Krichever, “The universal Whitham hierarchy and the geometry of the moduli space of pointed Riemann surfaces”, Geometry of Riemann surfaces and their moduli spaces, Surv. Differ. Geom., 14, Int. Press, Somerville, MA, 2009, 111–129  crossref  mathscinet  zmath
25. S. Grushevsky, I. Krichever, “Integrable discrete Schrödinger equations and a characterization of Prym varieties by a pair of quadrisecants”, Duke Math. J., 152:2 (2010), 317–371  crossref  mathscinet  zmath
26. �. �. ��������, “�����������-������������� ������������� � �������� ���������”, �����. ������ � ��� ����., 46:2 (2012), 37–51  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; ����. ���.: I. M. Krichever, “Real normalized differentials and Arbarello's conjecture”, Funct. Anal. Appl., 46:2 (2012), 110–120  crossref
27. �. �. ������, �. �. ��������, �. �. ��������, “��������� ������������� ��������� ����������, ������������� �� “�����������” ������ �������”, �����. ������ � ��� ����., 53:1 (2019), 31–48  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; ����. ���.: A. V. Ilina, I. M. Krichever, N. A. Nekrasov, “Two-dimensional periodic Schrödinger operators integrable at an energy eigenlevel”, Funct. Anal. Appl., 53:1 (2019), 23–36  crossref

������� �����������: �. �. ���������, �. �. ��������, �. �. �������, �. �. ��������, �. ����������, �. �. ����������, �. �. ��������, �. �. ��������, �. �. �������, �. �. ��������, �. �. �������, �. �. ��������, �. �. �����������, �. �. ���������, �. �. ��������, �. �. �������, �. �. �����, �. �. �������, �. �. �������, “����� ��������� �������� (� ��������������� �� ��� ��������)”, ���, 76:4(460) (2021), 183–193; Russian Math. Surveys, 76:4 (2021), 733–743
����������� � ������� AMSBIB
\RBibitem{BucVarVes21}
\by �.~�.~���������, �.~�.~��������, �.~�.~�������, �.~�.~��������, �.~����������, �.~�.~����������, �.~�.~��������, �.~�.~��������, �.~�.~�������, �.~�.~��������, �.~�.~�������, �.~�.~��������, �.~�.~�����������, �.~�.~���������, �.~�.~��������, �.~�.~�������, �.~�.~�����, �.~�.~�������, �.~�.~�������
\paper ����� ��������� �������� (� ��������������� �� ��� ��������)
\jour ���
\yr 2021
\vol 76
\issue 4(460)
\pages 183--193
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm10015}
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10015}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4295024}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1489.01018}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2021RuMaS..76..733B}
\transl
\jour Russian Math. Surveys
\yr 2021
\vol 76
\issue 4
\pages 733--743
\crossref{https://doi.org/10.1070/RM10015}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000712059500001}
������� ������ �� ��� ��������:
  • https://www.mathnet.ru/rus/rm10015
  • https://doi.org/10.4213/rm10015
  • https://www.mathnet.ru/rus/rm/v76/i4/p183
  • ��� ���������� ���������� � ��������� 1 ������x:
    Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    ������ �������������� ���� Russian Mathematical Surveys
    ���������� ����������:
    �������� ���������:875
    PDF ������� ������:654
    PDF ���������� ������:58
    HTML ������� ������:556
    ������ ����������:57