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RAIRO-Oper. Res.
Volume 34, Number 1, January March 2000
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Page(s) | 49 - 59 | |
DOI | https://doi.org/10.1051/ro:2000104 | |
Published online | 15 August 2002 |
Trivial Cases for the Kantorovitch Problem
1
Département de Mathématiques
et de Statistique, Université de Montréal, C.P. 6128,
Succ. Centre-Ville, Montréal, Québec, Canada H3C 3J7.
2
Département d'Informatique
et de Recherche Opérationnelle, Université de Montréal,
C.P. 6128, Succ. Centre Ville, Montréal, Québec, Canada H3C 3J7.
Received:
July
1997
Let X and Y be two compact spaces endowed with respective measures μ and ν satisfying the condition µ(X) = v(Y). Let c be a continuous function on the product space X x Y. The mass transfer problem consists in determining a measure ξ on X x Y whose marginals coincide with μ and ν, and such that the total cost ∫ ∫ c(x,y)dξ(x,y) be minimized. We first show that if the cost function c is decomposable, i.e., can be represented as the sum of two continuous functions defined on X and Y, respectively, then every feasible measure is optimal. Conversely, when X is the support of μ and Y the support of ν and when every feasible measure is optimal, we prove that the cost function is decomposable.
Résumé
Soient μ et ν deux mesures de même masse, l'une sur l'espace compact X, l'autre sur le compact Y, µ(X) = v(Y), on suppose que c(x,y) est une fonction continue définie sur X x Y. Le problème de transfert des masses consiste à minimiser la fonctionnelle ξ → ∫ ∫ c(x,y)dξ(x,y) où ξ est une mesure sur X x Y de marges respectives μ et ν. Nous montrons d'abord que si le coût de transport est décomposable, c'est-à-dire est la somme de deux fonctions continues définies sur X et Y respectivement, alors toute solution réalisable est optimale. Ensuite, nous prouvons que lorsque X est le support de μ et Y est le support de ν, et que toute solution réalisable est optimale, alors la fonction de coût est décomposable.
Key words: Continuous programming / transportation.
© EDP Sciences, 2000
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