J. Phys. France 51, 1803-1830 (1990)
DOI: 10.1051/jphys:0199000510170180300

An algebraic semi-classical approach to Bloch electrons in a magnetic field

R. Rammal¹ et J. Bellissard<sup>2

1</sup>  Centre de Recherches sur les Très Basses Températures, C.N.R.S., 25 Avenue des Martyrs, BP 166 X, 38042 Grenoble Cedex 05, France
²  Centre de Physique Théorique, C.N.R.S., Luminy, Case 907, 13288 Marseille Cedex, France

Abstract
Starting from Heisenberg's point of view, a semi-classical quantization method is introduced for 2D Bloch electrons in a magnetic field. The underlying lattice structure is used to define an algebraic structure. The (rotation) algebra so defined is non commutative, but allows for a systematic expansion of the magnetic energy levels, free energy, etc. near zero as well as an arbitrary rational flux. All previously derived results are recovered as special cases, but without involving wave function considerations (WKB, equation-of-motion methods, etc.). New results, up to second order in the magnetic flux, are explicitly derived and simple examples are used to illustrate our general algebraic formalism.

Résumé
En adoptant le point de vue de Heisenberg, on introduit une nouvelle méthode de quantification semi-classique, pour les électrons de Bloch sous champ magnétique. La structure du réseau est utilisée pour définir une structure algébrique. L'algèbre, dite de rotation, ainsi définie est non commutative, mais permet d'avoir un développement systématique à flux nul ainsi qu'à flux rationnel quelconque. L'ensemble des résultats connus sont retrouvés dans le cadre de notre formalisme, sans faire appel à la notion de fonction d'onde telle que dans la méthode WKB ou celle de l'équation du mouvement par exemple. Des nouveaux résultats, jusqu'au second ordre en flux sont donnés ainsi que des exemples simples pour illustrer la méthode algébrique.

PACS
7115A - Basis sets (LCAO, plane-wave, APW, etc.) and related methodology (scattering methods, ASA, linearized methods, etc.).
6540G - Entropy and other thermodynamical quantities.

Key words
algebra -- crystal atomic structure -- free energy -- Heisenberg model -- magnetic flux -- quantisation -- wave functions