Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Vorlesung 22

Jedes Element ${\displaystyle {}\sigma \in S(T_{1}\cup T_{2})}$ lässt sich nach Lemma Anhang 3.6 als Produkt von Transpositionen auf ${\displaystyle {}T_{1}\cup T_{2}}$ schreiben. Es muss also lediglich gezeigt werden, dass solche Transpositionen zu ${\displaystyle {}G}$ gehören. Es sei ${\displaystyle {}\sigma \in S(T_{1}\cup T_{2})}$ eine Transposition, und zwar vertausche ${\displaystyle {}\sigma }$ die Elemente ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}b}$, also ${\displaystyle {}\sigma =\langle a,b\rangle }$. Wenn beide Elemente zu ${\displaystyle {}T_{1}}$ (oder zu ${\displaystyle {}T_{2}}$) gehören, sind wir fertig. Es sei also ${\displaystyle {}a\in T_{1},a\notin T_{2}}$ und ${\displaystyle {}b\in T_{2},b\notin T_{1}}$. Es sei ferner ${\displaystyle {}c\in T_{1}\cap T_{2}}$, und ${\displaystyle {}c}$ sei von ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}b}$ verschieden (sonst gehören beide zu einer der Teilmengen). Dann ist

${\displaystyle {}\sigma =\langle a,b\rangle =\langle a,c\rangle \circ \langle b,c\rangle \circ \langle a,c\rangle \,}$

und diese drei Transpositionen gehören zu ${\displaystyle {}S(T_{1})}$ oder zu ${\displaystyle {}S(T_{2})}$ und damit zu ${\displaystyle {}G}$.

Sei ${\displaystyle {}M={\{1,\ldots ,p\}}}$. Wir betrachten Teilmengen ${\displaystyle {}T\subseteq M}$ derart, dass ${\displaystyle {}S(T)\subseteq H}$ ist, und wollen ${\displaystyle {}T=M}$ zeigen. Es sei dazu ${\displaystyle {}T_{1}}$ eine solche Teilmenge mit maximaler Elementanzahl, die wir ${\displaystyle {}k}$ nennen. Da es mindestens eine Transposition in ${\displaystyle {}H}$ gibt, ist ${\displaystyle {}k\geq 2}$. Für jedes ${\displaystyle {}\sigma \in H}$ ist ${\displaystyle {}T_{\sigma }=\sigma (T_{1})}$ ebenfalls eine ${\displaystyle {}k}$-elementige Menge mit ${\displaystyle {}S(T_{\sigma })\subseteq H}$. Für ${\displaystyle {}\tau \in S(T_{\sigma })}$ ist nämlich

${\displaystyle {}\tau =\sigma (\sigma ^{-1}\tau \sigma )\sigma ^{-1}\,,}$

und ${\displaystyle {}\sigma ^{-1}\tau \sigma }$ ist eine Permutation auf ${\displaystyle {}T_{1}}$, sodass sie zu ${\displaystyle {}H}$ gehört und damit auch ${\displaystyle {}\tau \in H}$ gilt. Für Permutationen ${\displaystyle {}\sigma _{1},\sigma _{2}\in H}$ ist entweder ${\displaystyle {}T_{\sigma _{1}}=T_{\sigma _{2}}}$ oder ${\displaystyle {}T_{\sigma _{1}}\cap T_{\sigma _{2}}=\emptyset }$, da andernfalls nach Lemma 22.1 ${\displaystyle {}S(T_{1}\cup T_{2})\subseteq H}$ wäre im Widerspruch zur Maximalität von ${\displaystyle {}k}$. Es sei nun ${\displaystyle {}x\in M}$ vorgegeben und ein ${\displaystyle {}y\in T_{1}}$ fixiert. Aufgrund der Transitivität gibt es ein ${\displaystyle {}\sigma \in H}$ mit ${\displaystyle {}\sigma (y)=x}$. Dann ist natürlich ${\displaystyle {}x\in T_{\sigma }}$. Das bedeutet, dass die Mengen ${\displaystyle {}T_{\sigma }}$, ${\displaystyle {}\sigma \in H}$, die Gesamtmenge ${\displaystyle {}M}$ überdecken. Wegen der Gleichmächtigkeit dieser Mengen ist ${\displaystyle {}p}$ ein Vielfaches von ${\displaystyle {}k}$ und somit ist ${\displaystyle {}p=k}$, also ${\displaystyle {}M=T_{1}}$.

Es seien ${\displaystyle {}\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{p-2}}$ die reellen Nullstellen und ${\displaystyle {}\alpha _{p-1},\alpha _{p}}$ die beiden nichtreellen komplexen Nullstellen. Nach Lemma 13.1 ist die Galoisgruppe ${\displaystyle {}\operatorname {Gal} \,(Z(F){|}\mathbb {Q} )}$ in natürlicher Weise eine Untergruppe der Permutationsgruppe der Nullstellen. Wir zeigen, dass es sich um die volle Permutationsgruppe handelt. Die komplexe Konjugation induziert einen ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$- Automorphismus auf ${\displaystyle {}L}$, der die reellen Nullstellen unverändert lässt und die beiden nichtreellen Nullstellen ${\displaystyle {}\alpha _{p-1}}$ und ${\displaystyle {}\alpha _{p}}$ ineinander überführt. Daher bewirkt dieser Automorphismus auf den Nullstellen eine Transposition. Da ${\displaystyle {}F}$ über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ irreduzibel ist, ist ${\displaystyle {}F}$ für jede Nullstelle das Minimalpolynom und daher sind alle Nullstellen zueinander konjugiert. Nach Satz 13.3 gibt es somit für je zwei Nullstellen ${\displaystyle {}\alpha }$ und ${\displaystyle {}\beta }$ einen Automorphismus ${\displaystyle {}\varphi }$ mit ${\displaystyle {}\varphi (\alpha )=\beta }$. Damit sind die Voraussetzungen von Lemma 22.3 erfüllt und somit ist die Galoisgruppe die volle Permutationsgruppe.

(1) ergibt sich aus dem Kriterium von Eisenstein.
(2). Wir berechnen einige Funktionswerte von ${\displaystyle {}F}$. Es ist

${\displaystyle {}F{\left(-a^{2}\right)}=-a^{10}+a^{10}-a=-a<0\,,}$

${\displaystyle {}F(-1)=-1+a^{2}-a=-1+a(a-1)>0\,,}$

${\displaystyle {}F(0)=-a<0\,}$

und schließlich

${\displaystyle {}F(1)=1+a^{2}-a>0\,.}$

Nach dem Zwischenwertsatz gibt es daher mindestens drei reelle Nullstellen. Die Ableitung von ${\displaystyle {}F}$ ist

${\displaystyle {}F'=5X^{4}+4a^{2}X^{3}=5X^{3}{\left(X+{\frac {4}{5}}a^{2}\right)}\,}$

und besitzt die beiden reellen Nullstellen ${\displaystyle {}0}$ und ${\displaystyle {}-{\frac {4}{5}}a^{2}}$. Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung kann somit ${\displaystyle {}F}$ nicht mehr als drei reelle Nullstellen besitzen, da zwischen zwei Nullstellen stets eine Nullstelle der Ableitung liegt. Die Nullstellen der Ableitung sind wegen

${\displaystyle {}F{\left(-{\frac {4}{5}}a^{2}\right)}\neq 0\,}$

(wegen der Irreduzibilität von ${\displaystyle {}F}$ über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$) keine Nullstelle von ${\displaystyle {}F}$, sodass ${\displaystyle {}F}$ keine mehrfache Nullstelle besitzen kann. Daher muss es zwei weitere komplexe nichtreelle Nullstellen geben.
(3) und (4) folgen aus (1), (2) und Lemma 22.4.

Für ${\displaystyle {}n=5}$ folgt dies direkt aus Korollar 22.5, und für ${\displaystyle {}n\geq 6}$ kann man ein unauflösbares Polynom vom Grad ${\displaystyle {}5}$ einfach mit einem beliebigen Polynom vom Grad ${\displaystyle {}n-5}$ multiplizieren.