Massenpunkt

Der Massenpunkt^[1][2][3] (seltener auch Massepunkt^[4] oder Punktmasse^[5]) ist in der Physik die höchstmögliche Idealisierung eines realen Körpers: Man stellt sich vor, dass seine Masse in seinem Schwerpunkt konzentriert ist. Dies vereinfacht die Beschreibung seiner Bewegung.

Das Fachgebiet, das sich mit der Bewegung von Massenpunkten befasst, wird als Punktmechanik bezeichnet. Der Körper wird als mathematischer Punkt betrachtet, der eine von Null verschiedene Masse und eventuell eine elektrische Ladung besitzt. Eigenschaften, die mit seiner Nicht-Punktförmigkeit (seiner Ausdehnung) zusammenhängen, wie Abmessungen, Volumen, Form und Verformbarkeit, werden vernachlässigt. Insbesondere kann ein Massenpunkt nicht rotieren, also auch keine Rotationsenergie aufnehmen.

Die angenäherte Beschreibung eines ausgedehnten Körpers durch einen Massenpunkt ist in vielen Fällen nützlich, selbst wenn der Körper rotiert. Beispielsweise folgen geworfene Gegenstände, aber auch ganze Himmelskörper oft sehr genau der Bahn eines Massenpunkts. Effekte, die sich aus der Ausdehnung des Körpers ergeben, wie Eigendrehung mit Präzession und Nutation oder Verformungen, lassen sich besser mit den Methoden der Kontinuumsmechanik oder der Mechanik starrer Körper behandeln. Deren Mathematik ist jedoch ungleich komplizierter, nicht zuletzt, weil ein starrer Körper sechs Freiheitsgrade und ein verformbarer Körper unendlich viele Freiheitsgrade besitzt.

Die Bewegung eines Massenpunkts wird in der newtonschen Mechanik durch das newtonsche Bewegungsgesetz beschrieben:

${\displaystyle {\vec {F}}=m\;{\vec {a}}}$

mit

• ${\displaystyle {\vec {F}}}$ = Kraftvektor
• ${\displaystyle m}$ = Masse
• ${\displaystyle {\vec {a}}}$ = Beschleunigungsvektor.

In der klassischen Mechanik legen die Variablen Ort und Impuls den Zustand eines Massenpunkts fest: Zu jeder Zeit ${\displaystyle t}$ befindet er sich an einem bestimmten Ort und besitzt einen bestimmten Impuls ${\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}$ (Masse mal Geschwindigkeit). Bei gegebener auf ihn wirkender Kraft wird die Änderung des Bewegungszustands durch das oben genannte newtonsche Bewegungsgesetz bestimmt.

Der Massenpunkt führt folglich nur Translations-, aber keine Rotationsbewegungen aus. Die Bahn, die er dabei beschreibt, heißt Trajektorie.

Die Punktmasse ist der einfachste mathematische Repräsentant für ein ausgedehntes Volumenelement, für einen materiellen Körper. Sie bildet daher den Anfang jeder elementaren Dynamik.^[6]

In diesem mathematischen Modell besteht die Vereinfachung darin, die Objektmenge von überabzählbar vielen Körperelementen auf ein einzelnes Element zu verringern. Mathematisch wird also eine Zuordnung

${\displaystyle \lim _{\Delta V\to 0}\sum _{i}\rho ({\vec {x}}_{i})\cdot \Delta V_{i}=\int _{V}\rho \,dV~\rightarrow ~m({\vec {x}})}$

eingeführt, wobei ${\displaystyle m({\vec {x}})}$ die Punktmasse am Punkt des Ortsvektors ${\displaystyle {\vec {x}}}$ bezeichnet.

Diese Vereinfachung gelingt unter der Annahme des Kontinuitätsprinzips, dass für den Raumbereich die Massenverteilung homogen und örtlich unveränderlich ist. Dann (und nur dann) existiert eine konstante Materialdichte ${\displaystyle \rho }$ im Raumbereich des Körpers.^[7] Daraus wird die Vorstellung gefolgert, dass die gesamte Körpermenge in einem festen Punkt mit den Ortskoordinaten ${\displaystyle {\vec {x}}}$ im Euklidischen Raum konzentriert wäre, im Idealfall in einem infinitesimal kleinen Element ${\displaystyle dm}$. Dieser Wert ist in diesem Fall Anteil des linearen Moments des Körpers und kann durch den einfachen Zahlwert ${\displaystyle m>0}$, der Masse, ersetzt werden (siehe Abb. 1).^[8] Der Ort ${\displaystyle {\vec {x}}}$ mit dem Abstandbetrag ${\displaystyle x_{M}}$ des Massenpunktes fällt dann auch mit dem Massenmittelpunkt zusammen.^[9]

${\displaystyle x_{M}\cdot m=\lim _{x_{i}\to 0}\sum _{i}x_{i}\cdot \Delta m_{i}}$ bzw. ${\displaystyle m={\frac {1}{x_{M}}}\int x\cdot dm}$.

Die Bedeutung des Massenpunktes für die Physik ist Gegenstand der Grundlagen der Mechanik. Dieser Bereich der theoretischen Physik und der Wissenschaftstheorie beschäftigt sich u. a. mit der Frage, unter welchen einschränkenden Bedingungen ein beliebiger Körper eindeutig und vollständig repräsentiert werden kann.^[10] Diese Fragestellung ist seit Beginn der theoretischen, neuzeitlichen Mechanik bis heute kontrovers und umstritten.^[11] Symptomatisch dafür sind die zum Teil konfrontativen Positionen zwischen Physikern, Mathematikern und Technikern, die im Umfeld der Beschreibung von Punktmassen, mathematischen Körpern und materiellen Kontinua eingenommen werden.^[12]

Aus den Grundlagen geht ebenso hervor, dass der Massenpunkt nur eindeutig bezeichnet ist, wenn die Verbindungslinien ${\displaystyle x_{i}}$ unveränderlich sind, der Körper also starr ist. Diese Behandlung der Mechanik eröffnet die Punktmechanik. Ihre axiomatische Fassung^[13] wird heute unabhängig vom realistischen Aufbau der Materie behandelt. Der physikalische Aufbau der Materie umfasst unabhängige Zusatzannahmen, die vor allem unabhängig von der Verbindung zur Physik der Kristallgitter oder von weiteren phänomenologischen Feststoffmodellen sind.

Die heute noch in manchen Lehrbüchern zu findende Behauptung, die logischen und empirischen Verknüpfungen zwischen den einzelnen Disziplinen der Mechanik gelingen ‹einwandfrei›^[14] und seien ohne Schwierigkeiten aufzustellen, ignoriert die Geschichte und die Grundlagenfragen der Mechanik. Sie hat bis heute für zusätzliche Polemik gegenüber pädagogischen Vereinfachungen gesorgt.^[15][16]

Das Konzept des Massenpunkts hat sich in vielen Bereichen und Anwendungen bewährt und ermöglicht es, Aspekte der Relativitätstheorie, der Quantenmechanik und der Teilchenphysik zu behandeln. Dabei bleibt die Darstellung übersichtlich und auch für Einsteiger zugänglich.^{[17]:V ff.}

Elementarteilchen wie beispielsweise Elektronen werden nach heutigem Kenntnisstand als punktförmige Objekte betrachtet. Sie sollten daher der Idealisierung eines Massenpunkts sehr nahe kommen. Mit Ausnahme des Higgs-Bosons besitzen sie jedoch eine Eigenschaft, die sich mit der Vorstellung eines Massenpunkts nicht erklären lässt: Sie haben einen Spin, also einen Eigendrehimpuls, der aber nicht als Rotation eines starren Körpers um eine Achse verstanden werden kann. Im Gegensatz zum klassischen Eigendrehimpuls eines Körpers ist der Spin eine physikalische Größe, die für alle Teilchen der gleichen Art unveränderlich den gleichen Wert hat, nur ihre Orientierung entlang einer Achse kann variieren.

Kein physikalischer Körper ist ein Massenpunkt. Genauso wenig kann das Newtonsche Kraftgesetz nur für einen einzelnen Massenpunkt gelten.^[18] Dennoch liefert dieses idealisierende Modell oft brauchbare Ergebnisse, beispielsweise wenn die betrachteten Objekte viel kleiner sind als die Distanzen zwischen ihnen oder wenn Rotationen der Körper aufgrund mechanischer Zwangsbedingungen ausgeschlossen oder keine Rolle spielen. Außerdem müssen die auftretenden Kräfte so gering sein, dass eine Verformung der Körper vernachlässigt werden kann.

Die Planeten verhalten sich aufgrund der großen Entfernungen im Sonnensystem nahezu wie Massenpunkte. Ihre Bahnen lassen sich daher vergleichsweise genau vorhersagen, wenn man sie als punktförmig annimmt. Das Modell des Massenpunkts ist aber völlig ungeeignet, um Phänomene wie die Präzession der Erdachse, Gezeiten, gebundene Rotation etc. zu beschreiben.

Auch bei der Beschreibung von Schwerependeln werden die Grenzen des Modells offenbar: Beschreibt man das Pendel als eine Punktmasse am Ende eines starren, aber masselosen Stabes, so gelangt man zum so genannten mathematischen Pendel. Im physikalischen Pendel wird auch die Ausdehnung der Masse und die Masse des Stabes mitberücksichtigt, die das Schwingungsverhalten mehr oder weniger stark beeinflussen. Dieses Modell kommt der Realität also erheblich näher.

Bei der Beschreibung idealer, einatomiger Gase werden die Gasatome als Massenpunkte angenommen. Besteht das Gas aus mehratomigen Molekülen, so geht das einfachste Modell davon aus, dass ein Molekül aus Massenpunkten besteht, die starr miteinander verbunden sind. Nach diesem Modell sind Rotationen um die Längsachse eines linearen Moleküls ausgeschlossen, weshalb ein zweiatomiges Molekül zwei Rotationsfreiheitsgrade hat, ein gewinkeltes Molekül aus drei oder mehr Atomen jedoch drei Rotationsfreiheitsgrade. Ist die Bindung nicht starr, sondern elastisch, treten entsprechende Vibrationsfreiheitsgrade hinzu. Dies schlägt sich unter anderem in der Formel für die Innere Energie von idealen Gasen nieder. Daher macht die Vorstellung, dass ein Gas aus frei beweglichen Molekülen aus Massenpunkten besteht, viele Aussagen über dessen Verhalten, die sich experimentell bestätigen lassen. Allerdings können andere Beobachtungen nicht erklärt werden, weil dieses Modell außer Acht lässt, dass die Atome ein gewisses Eigenvolumen besitzen und nicht starr sind. Zu diesen Phänomenen zählen Van-der-Waals-Kräfte und der Joule-Thomson-Effekt. Folglich lässt sich ein reales Gas nur teilweise mit dem Modell der Massenpunkte erklären (siehe kinetische Gastheorie).

Die naturphilosophische Auffassung zu einer allgemeinen Punktmechanik, die zunächst wenig Beachtung gefunden hat, geht auf R. Boskovich zurück.^[19] Dort fällt die Auffassung auch mit dem atomistischen Modell zusammen, was i. A. allerdings nicht zwingend der Fall sein muss.^[20]

Das mathematische Programm zur Durcharbeitung der gesamten Mechanik und Physik auf Basis von Punktmassen geht hingegen erst auf P.-S. Laplace zurück.^[21] Sämtliche Befürworter dieses Programms berufen sich dabei auf die einfache und allgemeine Struktur von Massenelementen mit Zentralkraftwirkung, wie sie erstmals von I. Newton für die Gravitation beschrieben wurde.^[22] Die Beschränkung auf Punktmechanik ist kein explizites Ergebnis der Newtonschen Mechanik, sondern eine Übertreibung und Vereinfachung, die sich bis heute auf viele Physiklehrbücher übertragen hat.^[23]

Vor der neuzeitlichen Dynamik ist die Punktmasse Gegenstand der klassischen Statik gewesen. Das statische Modell zur Ersetzung eines (starren) Körpers durch eine Punktmasse findet man wie selbstverständlich in den mechanischen Werken Galileis und Baldis.^[24][25][26] Eine Statik von Punktmassen sowie eine Schwerpunktmechanik wurde bereits von Archimedes begründet^[27] und von Jordanus weiterentwickelt.^[28]

• Teilchen
• Punktladung

• Christian Gerthsen, Dieter Meschede (Hrsg.): Gerthsen Physik. 25. Auflage. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2015, ISBN 978-3-662-45977-5, S. 13–68 (1052 S., eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). 
• Georg Hamel: Theoretische Mechanik – Eine einheitliche Einführung in die gesamte Mechanik. (Nachdruck der Ausgabe von 1949. Neu erschienen 2013). Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1967. 
• Walter Noll: The Foundations of Classical Mechanics in the Light of Recent Advances in Continuum Mechanics. Seiten 266 – 281 in Leon Henkin, Patrick Suppes, Alfred Tarski (Hrsg.), The Axiomatic Method with Special Reference to Geometry and Physics. (In der Reihe Studies in Logic and Foundations of Mathematics, hrsg. von L. E. J. Brouwer, E. W. Beth, A. Heyting). North-Holland Publ., Amsterdam 1959 (Textarchiv – Internet Archive.). 
• Paul Stäckel: Elementare Dynamik der Punktsysteme und starren Körper (= Artikel 6.1, Band IV der Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen, hrsg. v. F. Klein u. C. Müller, Akademien der Wissenschaften zu Göttingen). Teubner-Verlag, Leipzig, München und Wien 1905, S. 435 – 684, doi:10.1007/978-3-663-16021-2 (wikisource.org). 
• John Synge: Classical Dynamics. Artikel 1 in Band III/1 der Reihe Handbuch der Physik (Prinzipien der klassischen Mechanik und Feldtheorie). Hrsg. v. S. Flügge, Seiten 1–225. Springer-Verlag, Berlin, Göttingen, Heidelberg 1960. 
• Clifford Truesdell, R. A. Toupin: The Classical Field Theories. Artikel 2 in Band III/1 der Reihe Handbuch der Physik (Prinzipien der klassischen Mechanik und Feldtheorie). Hrsg. v. S. Flügge, Seiten 226–902. Springer-Verlag, Berlin, Göttingen, Heidelberg 1960. 

1. ↑ Gerthsen, Meschede, 2015, S. 13. Mechanik der Massenpunkte, Zusammenfassung
2. ↑ Lew Dawidowitsch Landau, Jewgeni Michailowitsch Lifschiz: Mechanik. 1. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1962, S. 1 (X, 193 S.). 
3. ↑ David Halliday, Robert Resnick: Physik. Teil 1. Reprint 2020 der 1993er Auflage. de Gruyter, Berlin/Boston 2020, ISBN 3-11-086076-7, S. 33 (792 S., eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). 
4. ↑ David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker: Halliday Physik. Dritte, vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage. WILEY-VCH, Weinheim, Germany 2017, ISBN 978-3-527-81260-8 (1635 S., eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). 
5. ↑ Horst Stöcker (Hrsg.): Taschenbuch der Physik: Formeln, Tabellen, Übersichten. 6. korrigierte Auflage. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2010, ISBN 978-3-8171-1861-8, S. 10 (XXIV, 1079). 
6. ↑ Siehe Stäckel (1905), in der Literatur unten, Seite 449.
7. ↑ Hamel (1967), in der Lit. unten, S. 45. Noll (1959), S. 267.
8. ↑ Siehe Hamel (1967), in der Lit. unten, S. 45 und 49; sowie insbes. Noll (1959), in der Lit. unten, S. 268.
9. ↑ Man vergleiche mit Synge (1960), in der u. a. Literatur, S. 31 (III. Mass distributions and force systems).
10. ↑ Zu der Bedeutung und den Ergebnissen der Grundlagen siehe insbes. J. L. Synge (1960), in der u. a. Literatur: Introduction, S. 1 f.; sowie C. Truesdell, R. Toupin (1960), in der u. a. Literatur: The field viewpoint in classical physics. S. 228 f.
11. ↑ Noch im 17. und 18. Jahrhundert wurde sie vorwiegend als naturphilosophisches und metaphysisches Problem beschrieben. Ab dem 19. bis Mitte des 20. Jahrhunderts, im Zuge der fortgeschrittenen Mathematisierung aller mechanischen Fragen, wurde sie als vorrangig mathematisches Problem gesehen, das eine eindeutige Lösung erfordere. (Selbst diese Eindeutigkeit, bis auf Äquivalenz, ist hoch umstritten und fällt in den Bereich der Metamathematik.) Mit diesem Hintergrund wurde es zu Beginn des 20. Jahrhunderts zu den mathematischen Problemen nach David Hilbert gefasst. Und zwar ist die Frage dort im Sechsten Problem enthalten: der Versuch, die gesamte Mechanik deduktiv abgeschlossen und einheitlich zu formulieren. Hierzu sind mehrfache parallele Lösungsvorschläge zu finden, die ebenfalls aus dem Umfeld der Göttinger Mathematiker-Schule Hilberts stammen, allen voran von G. Hamel. Einen historischen Überblick zum Sechsten Problem Hilberts siehe etwa L. Corry, David Hilbert and the Axiomatization of Physics (1898-1918). (Kluwer) Dordrecht, Boston, London 2004.
12. ↑ Das verdeutlicht bereits der Gegensatz in den beiden Handbuch-Einträgen Synge (1960) und Truesdell, Toupin (1960), die in der Literatur unten zu finden sind. Frühere Quellen zu den gegensätzlichen Positionen zwischen Punkt- und Kontinuumsmechanik, die auch das Sechste Problem Hilberts (siehe vorigen Einzelnachweis) mitgeprägt haben, sind in der Reihe Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen, hrsg. v. F. Klein u. C. Müller, zu finden. Online-Zugriff: wikisource. Siehe darin vor allem Art. 1 (Band 4-1) von A. Voss (1901), Die Prinzipien der rationellen Mechanik. Darin Seite 24 ff. (C. Mechanisch-physikalische Prinzipien); außerdem Art. 23 (Band 4-4) von C. Müller, A. Timpe (1907), Die Grundgleichungen der mathematischen Elastizitätstheorie. Darin Seite 6 f. (2. Die Grundgleichungen als Bewegungsgleichungen des einzelnen Teilchens). Sowie Art. 25, Bd. 5-3 von M. Born, Atomtheorie des festen Zustands – Dynamik der Kristallgitter (1922). Darin insbes. S. 530 f. (2. Geometrie und Kinematik des Kristallgitters).
13. ↑ Siehe etwa Hamel (1967), in der u. a. Literatur, Seite 51 f. Eine erste axiomatische Fassung der Punktmechanik, wie sie in heutigen Lehrbüchern wiederzufinden ist, steht in L. Boltzmann, Vorlesungen ueber die Principe der Mechanik, 1. Theil. (Barth-Verlag) Leipzig 1897, darin Seite 22 (§7. Masse und Kraft). Boltzmann betont allerdings, dass er speziell den Massenbegriff der Mechanik E. Machs entnommen habe. Online: Textarchiv – Internet Archive
14. ↑ Das ist zum Beispiel der Wortlaut in Gerthsen, Meschede (2015), in der u. a. Literatur, Seite 13.
15. ↑ Siehe dazu etwa die Untersuchung von Clifford Truesdell, Reactions of Late Baroque Mechanics to Success, Conjecture, Error, and Failure in Newton’s Principia. Kap. III in C. Truesdell, Essays in the History of Mechanics, pp. 139–183. (Springer), New York 1968. Darin insbes. S. 141.
16. ↑ Noch grundsätzlicher stellt Paul Feyerabend das nach seinem Verständnis irrationale Bedürfnis von Lehrbuchautoren nach Auflösung aller konzeptuellen Probleme in Frage. Schwierigkeiten werden den Lernenden bewusst verheimlicht, was gegen das eigene Bekenntnis zur kritischen Wissenschaftlichkeit stehe. Siehe dazu insbes. Feyerabend, Realismus and Instrumentalism: Comments on the Logic of Factural Report (1969), darin Anm. 4, Seite 283. Deutsch erschienen in Kap. 5 in Feyerabend, Der wissenschaftstheoretische Realismus und die Autorität der Wissenschaften. (Vieweg) Wiesbaden 1978. Titel: Realismus und Instrumentalismus zur Logik der Unterstützung durch Tatsachen; darin Anm. 4, Seite 82, ein Auszug im Wortlaut: «Der problematische Charakter jeder wissenschaftlichen Theorie wird oft der Öffentlichkeit, ja selbst vor Studenten des Fachs verborgen gehalten. Sowohl populäre Darstellungen als auch Lehrbücher verweilen bei den Erfolgen einer Theorie, sprechen aber kaum über ihre weitaus interessanteren Schwierigkeiten».
17. ↑ Gottfried Falk: Theoretische Physik auf der Grundlage einer allgemeinen Dynamik. Elementare Punktmechanik. 1. Band. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 1966, DNB 456597212, doi:10.1007/978-3-642-94958-6. 
18. ↑ Das ist nur ein einfaches Beispiel für die logisch unentwirrbare Schwierigkeit hinter dem Grundgesetz der Mechanik und dem Zusammenspiel von Masse, Beschleunigung und Kraft in der Klassischen Mechanik. Einflussreiche Untersuchungen dazu sind etwa Carl Neumann, Über die Principien der Galilei-Newton’schen Theorie. (Teubner), Leipzig 1870. Online: archive.org sowie Henri Poincaré, Wissenschaft und Hypothese. (Teubner) Leipzig 1904. Darin Kap. 6.: Die Klassische Mechanik, Seite 90 ff. Textarchiv – Internet Archive. In Physiklehrbüchern erfährt man heute über derartige Schwierigkeiten wenig oder nichts.
19. ↑ Siehe bspw. G. Schiemann, Wahrheitsgewissheitsverlust. Hermann von Helmholtz’ Mechanismus. Darmstadt 1997, Seite 107 ff.
20. ↑ Newton selbst hat sich in dieser Frage zurückgehalten und das Ganze zu seinen Queries gezählt (siehe dazu etwa Siehe E. J. Dijksterhuis, Die Mechanisierung des Weltbildes. Kap IV, c): Newtons naturphilosophische Ideen. (Springer-Verlag) Berlin, Heidelberg, New York, 1983. (Nachdruck 2002). S. 546. Leonhard Euler z. B. entwickelte später die Punktmechanik mit, lehnte den Atomismus aber strikt ab.
21. ↑ Siehe Stäckel (1905), in der Literatur unten, Seite 449.
22. ↑ Siehe dazu insbesondere das Vorwort der Principia Mathematica Philosophiae Naturalis, erstmals veröffentlicht London 1687. In der P. Wolfers Übersetzung, (Oppenheim) Berlin 1872, Seite 2: Online: (Wikisource)
23. ↑ Ein aufklärender Korrekturversuch ist der im oben genannten Einzelnachweis Truesdell (1968).
24. ↑ René Dugas, A History of Mechancs. Engl. Ausgabe des französ. Originals von 1955. (Dover) New York 1988. Seite 130: ‚Die Existenz des Schwerpunktes eines Körpers war für Galilei genauso eine experimentelle Tatsache wie für den (damaligen wie heutigen) Schülern.‘
25. ↑ Als Nachweise für Galilei siehe insbesondere sein Scriptum La Mecaniche. Online-Originalversion: Le mecaniche (Favaro). Wikisource (italienisch). Ebenso die von Mersenne kommentierte und herausgegebene Fassung Les Mecaniques de Galilee in dem von ihm herausgeg. Gesamtband Mersenne, Questions Inouyes ou Recreation des Sçavans. Paris 1634. Darin die Suppositions I bis III auf Seite 445. Ebenso abgedruckt in: E. Jouguet, Lecture de Mécanique. (Gauthier-Villars), Paris 1908, S. 30 f. Online: Textarchiv – Internet Archive.
26. ↑ Als Nachweis für Baldi siehe insbesondere B. Baldi, In Mechanica Aristotelis Problemata Exercitationes. Mainz 1621, Seite 2. doi:10.3931/e-rara-8255 Man beachte die kommentierte Neuauflage von E. Nenci (Hrsg.): Bernardino Baldi’s In mechanica Aristotelis problemata exercitationes, Edition Open Sources 2011, Online, Faksimile-Seite 2.
27. ↑ Siehe etwa E. Jouguet, Lecture de Mécanique. (Gauthier-Villars), Paris 1908, S. 10. Online: Textarchiv – Internet Archive
28. ↑ Siehe Dijksterhuis (1983), im oben angeg. Einzelnachweis. Kap III, A: Die Schule des Jordanus, S. 276.