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Titanische Primzahl

Der Begriff titanische Primzahl (englisch titanic prime (number)) wurde von Samuel Yates geprägt und bezeichnet eine Primzahl mit mindestens 1000 Dezimalstellen.[1]
Die kleinsten titanischen Primzahlen haben exakt 1000 Stellen, sind von der Form und haben folgendes :

= 7, 663, 2121, 2593, 3561, 4717, 5863, 9459, 11239, 14397, 17289, 18919, 19411, 21667, 25561, 26739, 27759, 28047, 28437, 28989, 35031, 41037, 41409, 41451, 43047, 43269, 43383, 50407, 51043, 52507, 55587, 59877, 61971, 62919, 63177, … (Folge A074282 in OEIS)

Die ersten beiden titanischen Primzahlen wurden am 3. November 1961 von Alexander Hurwitz entdeckt. Es waren die beiden Mersenne-Primzahlen mit 1281 Stellen und mit 1332 Stellen. Die Primalität von wurde an diesem Tag als erstes berechnet, Hurwitz hat aber am Computer die Ausgabe von wenige Sekunden vor als erstes bemerkt. Dadurch entstand eine kurze Diskussion zwischen Selfridge und Hurwitz darüber, welche Primzahl somit als erste entdeckt wurde. Offiziell ist es .[2]

Jemand, der eine titanische Primzahl entdeckt hat, ist nach Samuel Yates ein Titan (englisch titan).[3]

Arten

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Gigantische Primzahl

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Eine gigantische Primzahl (englisch gigantic prime (number)) ist eine Primzahl mit mindestens 10.000 Dezimalstellen. Dieser Name wurde erstmals im Jahr 1992 im Artikel Collecting gigantic and titanic primes von Samuel Yates erwähnt.[4]

Die erste gigantische Primzahl wurde am 8. April 1979 von Harry L. Nelson und David Slowinski entdeckt. Es war die Mersenne-Primzahl   mit 13.395 Stellen.[2]

Die kleinsten gigantischen Primzahlen haben exakt 10.000 Stellen, sind von der Form   und haben folgendes  :

  = 33603, 55377, 70999, 78571, 97779, 131673, 139579, 236761, 252391, 282097, 333811, 342037, 355651, 359931, 425427, 436363, 444129, 473143, 479859, 484423, 515787, 543447, 680979, 684273, 709053, 709431, 780199, 781891, 788527, 813019, … (Folge A142587 in OEIS)

Heutzutage kann man mit einem normalen PC mehrere (ähnlich kleine) gigantische Primzahlen pro Tag entdecken.

 
Die Anzahl der neu gefundenen Megaprimzahlen pro Jahr

Megaprimzahl

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Eine Megaprimzahl (englisch megaprime (number)) ist eine Primzahl mit mindestens 1.000.000 Dezimalstellen.[5]

Die erste Megaprimzahl wurde am 1. Juni 1999 von Nayan Hajratwala entdeckt. Es war die Mersenne-Primzahl   mit 2.098.960 Stellen.[2][6]

Es sind zurzeit 2297 Megaprimzahlen und 112 PRP-Zahlen mit mindestens einer Million Stellen bekannt (Stand: 15. Oktober 2023).[7][8]

Bevaprimzahl

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Eine Bevaprimzahl (englisch bevaprime (number)) ist eine Primzahl mit (mindestens) 1.000.000.000 (= 1 Milliarde, engl. 1 billion) Dezimalstellen. Sie wird auch Gigaprimzahl genannt, allerdings ist die Verwechslungsgefahr mit „gigantischer Primzahl“ in diesem Falle recht hoch. Die Bezeichnung Bevaprimzahl wurde von Chris Caldwell spätestens seit Ende 2003 verwendet,[2][9] er hat diese Bezeichnung jedoch zwischen 1. und 22. Januar 2016 wieder aus dem Artikel "The Largest Known Prime by Year: A Brief History" entfernt.[10]

Es sind zwar noch keine Bevaprimzahlen bekannt, trotzdem weiß man, dass fast alle Primzahlen Bevaprimzahlen sind. Dies liegt daran, dass es unendlich viele Primzahlen gibt (siehe Satz von Euklid), aber nur endlich viele von diesen weniger als eine Milliarde Dezimalstellen haben. Es müssen also alle „restlichen“ Primzahlen mehr als eine Milliarde Stellen haben.

Primzahlrekorde

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Es folgt eine Liste der kleinsten und größten (bekannten) Primzahlen der obigen Formen. Einige davon sind allerdings Zahlen, die sehr viele Eigenschaften einer Primzahl erfüllen, bei denen man aber noch nicht ganz sicher ist, ob es sich tatsächlich um Primzahlen oder doch „nur“ um Pseudoprimzahlen handelt. Solche „wahrscheinlichen Primzahlen“ nennt man PRP-Zahlen (Stand: 17. Dezember 2021).

Zahl Status Rekord Form Dezimalstellen Entdeckungsdatum Entdecker Quellen
  prim größte nicht-titanische Primzahl --- 999 ? ? [11]
  prim kleinste titanische Primzahl titanisch 1000 ? ? [12]
  prim größte titanische, aber nicht gigantische Primzahl titanisch 9.999 ? ? [13]
  prim kleinste gigantische Primzahl gigantisch 10.000 August 2003 Jens Franke, Thorsten Kleinjung, Tobias Wirth [13][14][15]
  PRP größte PRP-Zahl mit weniger als 100.000 Stellen gigantisch 99.999 Juli 2009 Patrick De Geest [16]
  PRP kleinste PRP-Zahl mit mindestens 100.000 Stellen gigantisch 100.000 Januar 2004 Daniel Heuer [16][17]
  prim größte gesicherte gigantische Primzahl, die nicht Megaprimzahl ist gigantisch 999.999 10. September 2021 Ryan Propper, Serge Batalov [18]
  PRP größte gigantische PRP-Zahl, die nicht Megaprimzahl ist gigantisch 999.999 Dezember 2016 Patrick De Geest [8]
  PRP kleinste PRP-Zahl mit mindestens 1.000.000 Stellen Megaprimzahl 1.000.000 Februar 2013 Peter Kaiser [8][19]
  prim kleinste gesicherte Megaprimzahl Megaprimzahl 1.000.000 19. Februar 2021 Serge Batalov [20]
  prim größte bekannte Megaprimzahl mit weniger als 10.000.000 Stellen Megaprimzahl, 44. Mersenne-Primzahl M32582657 9.808.358 4. September 2006 Curtis Cooper, Steven R. Boone [21][7]
  prim kleinste bekannte Megaprimzahl mit mindestens 10.000.000 Stellen Megaprimzahl, 45. Mersenne-Primzahl M37156667 11.185.272 6. September 2008 Hans-Michael Elvenich [22][7]
  prim größte bekannte Megaprimzahl Megaprimzahl, evtl. 52. Mersenne-Primzahl M136279841 41.024.320 12. Oktober 2024 Luke Durant [23][24][7][25]

Der nächsten Liste kann man die bisher 10 größten bewiesenen Primzahlen entnehmen.[7][26] Die meisten davon sind Mersenne-Primzahlen,[25] allesamt sind Megaprimzahlen (Stand: 26. Oktober 2024).

Rang Primzahl Eigenschaft Dezimalstellen Entdeckungsdatum Entdecker Quellen
1.   evtl. 52. Mersenne-Primzahl   41.024.320 21. Oktober 2024 Luke Durant [27]
2.   evtl. 51. Mersenne-Primzahl   24.862.048 21. Dezember 2018 Patrick Laroche [28]
3.   evtl. 50. Mersenne-Primzahl   23.249.425 3. Januar 2018 Jonathan Pace [29]
4.   evtl. 49. Mersenne-Primzahl   22.338.618 19. Januar 2016 Curtis Cooper [30]
5.   48. Mersenne-Primzahl   17.425.170 5. Februar 2013 Curtis Cooper [31]
6.   47. Mersenne-Primzahl   12.978.189 23. August 2008 Edson Smith [32]
7.   46. Mersenne-Primzahl   12.837.064 13. Juni 2009 Odd Magnar Strindmo [33]
8.   größte verallgemeinerte einzigartige Primzahl 11.981.518 2. Oktober 2023 Ryan Propper, Serge Batalov [34]
9.   zweitgrößte verallgemeinerte einzigartige Primzahl 11.887.192 31. Mai 2023 Ryan Propper, Serge Batalov [35]
10.   45. Mersenne-Primzahl   11.185.272 6. September 2008 Hans-Michael Elvenich [36]
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Chris K. Caldwell: Smallest Titanics of Special Forms.

Quellen

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  1. ↑ http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=TitanicPrime
  2. ↑ a b c d Chris K. Caldwell: The Largest Known Prime by Year: A Brief History. Abgerufen am 1. August 2020.
  3. ↑ http://primes.utm.edu/bios/page.php?lastname=Woltman
  4. ↑ http://primes.utm.edu/glossary/xpage/GiganticPrime.html
  5. ↑ http://primes.utm.edu/glossary/xpage/Megaprime.html
  6. ↑ 26972593 - 1 auf Prime Pages
  7. ↑ a b c d e Liste der 5000 größten bekannten Primzahlen (englisch). Abgerufen am 15. Oktober 2023.
  8. ↑ a b c Henri Lifchitz, Renaud Lifchitz: PRP Records - Probable Primes Top 10000. PRP Records, abgerufen am 15. Oktober 2023.
  9. ↑ Chris K. Caldwell: The Largest Known Prime by Year : A Brief History. 2003, archiviert vom Original (nicht mehr online verfügbar) am 29. Dezember 2003; abgerufen am 20. Juni 2023.
  10. ↑ Chris K. Caldwell: The Largest Known Prime by Year: A Brief History. 2003, archiviert vom Original (nicht mehr online verfügbar) am 22. Januar 2016; abgerufen am 20. Juni 2023.
  11. ↑ Boivin: 6101. Prime Pages, abgerufen am 1. August 2020.
  12. ↑ Neil Sloane: Numbers n such that 10^999+n is a (Titanic) prime. OEIS, abgerufen am 1. August 2020.
  13. ↑ a b Patrick De Geest: A free forum for Gigantic Primes. World Of Numbers, abgerufen am 1. August 2020.
  14. ↑ Norman Luhn: 10000…33603 (10000-digits). Prime Pages, abgerufen am 1. August 2020.
  15. ↑ Neil Sloane: Numbers n such that 10^9999 + n is a (gigantic) prime. OEIS, abgerufen am 1. August 2020.
  16. ↑ a b Henri Lifchitz, Renaud Lifchitz: PRP Records - Probable Primes Top 10000 - Seite 36. PRP Records, abgerufen am 15. Oktober 2023.
  17. ↑ Pfoertner: 10000…09403 (100000-digits). Prime Pages, abgerufen am 1. August 2020.
  18. ↑ 10999999 - 1022306 · 10287000 - 1 auf Prime Pages
  19. ↑ Patrick De Geest: Search for the first PRP megaprime of the form 10^999999 + y. PRP Records, abgerufen am 1. August 2020.
  20. ↑ 10999999 + 308267 · 10292000 + 1 auf Prime Pages
  21. ↑ 232582657 - 1 auf Prime Pages
  22. ↑ 237156667 - 1 auf Prime Pages
  23. ↑ 2136279841 - 1 auf Prime Pages
  24. ↑ GIMPS: GIMPS Discovers Largest Known Prime Number: 2136,279,841-1. Mersenne Research, Inc., abgerufen am 26. Oktober 2024.
  25. ↑ a b Chris K.Caldwell: The Top Twenty: Mersenne. Prime Pages, abgerufen am 26. Oktober 2024.
  26. ↑ Chris K.Caldwell: The Top Twenty: Largest Known Primes. Prime Pages, abgerufen am 16. Oktober 2023.
  27. ↑ 2136279841 - 1 auf Prime Pages
  28. ↑ 282589933 - 1 auf Prime Pages
  29. ↑ 277232917 - 1 auf Prime Pages
  30. ↑ 274207281 - 1 auf Prime Pages
  31. ↑ 257885161 - 1 auf Prime Pages
  32. ↑ 243112609 - 1 auf Prime Pages
  33. ↑ 242643801 - 1 auf Prime Pages
  34. ↑ 5166932097152-5166931048576 auf Prime Pages
  35. ↑ Phi(3,-4658591048576) auf Prime Pages
  36. ↑ 237156667 - 1 auf Prime Pages
Primzahl­mengen
formelbasiert

Carol ((2n − 1)2 − 2) | Doppelte Mersenne (22p − 1 − 1) | Fakultät (n! ± 1) | Fermat (22n + 1) | Kubisch (x3 − y3)/(x − y) | Kynea ((2n + 1)2 − 2) | Leyland (xy + yx) | Mersenne (2p − 1) | Mills (A3n) | Pierpont (2u⋅3v + 1) | Primorial (pn# ± 1) | Proth (k⋅2n + 1) | Pythagoreisch (4n + 1) | Quartisch (x4 + y4) | Thabit (3⋅2n − 1) | Wagstaff ((2p + 1)/3) | Williams ((b-1)⋅bn − 1) | Woodall (n⋅2n − 1)

Primzahlfolgen

Bell | Fibonacci | Lucas | Motzkin | Pell | Perrin

eigenschaftsbasiert

Elitär | Fortunate | Gut | Glücklich | Higgs | Hochkototient | Isoliert | Pillai | Ramanujan | Regulär | Stark | Stern | Wall–Sun–Sun | Wieferich | Wilson

basis­abhängig

Belphegor | Champernowne | Dihedral | Einzigartig | Fröhlich | Keith | Lange | Minimal | Mirp | Permutierbar | Primeval | Palindrom | Repunit-Primzahl ((10n − 1)/9) | Schwach | Smarandache–Wellin | Strobogrammatisch | Tetradisch | Trunkierbar | Zirkular

basierend auf Tupel

Ausbalanciert (p − n, p, p + n) | Chen | Cousin (p, p + 4) | Cunningham (p, 2p ± 1, …) | Drilling (p, p + 2 oder p + 4, p + 6) | Konstellation | Sexy (p, p + 6) | Sichere (p, (p − 1)/2) | Sophie Germain (p, 2p + 1) | Vierling (p, p + 2, p + 6, p + 8) | Zwilling (p, p + 2) | Zwillings-Bi-Kette (n ± 1, 2n ± 1, …)

nach Größe

Titanisch (1.000+ Stellen) | Gigantisch (10.000+ Stellen) | Mega (1.000.000+ Stellen) | Beva (1.000.000.000+ Stellen)

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