Kategorie der Elemente

Sei ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  eine Kategorie und ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {Set}}}$  ein (kovarianter) Funktor in die Kategorie der Mengen ${\displaystyle {\mathcal {Set}}}$ . Dann heißt die Kategorie mit

• Objekten: Paare ${\displaystyle (C,x)}$ , wobei ${\displaystyle C}$  Objekt aus ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  ist und ${\displaystyle x\in F(C)}$  ein Element der Menge,
• Morphismen ${\displaystyle f\colon (C,x)\rightarrow (C',x')}$ : Morphismen ${\displaystyle f\colon C\rightarrow C'}$ , die ${\displaystyle F(f)(x)=x'}$  erfüllen,

die Kategorie der Elemente zu ${\displaystyle F}$ , wobei die Komposition der Morphismen diejenige aus ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  ist. Diese Kategorie wird mit ${\displaystyle \textstyle \int F}$  oder ${\displaystyle \textstyle \int _{\mathcal {C}}F}$  bezeichnet.^[1][2]

Sei ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  eine Kategorie und ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {Set}}}$  ein kontravarianter Funktor in die Kategorie der Mengen ${\displaystyle {\mathcal {Set}}}$ . Dann heißt die Kategorie mit

• Objekten: Paare ${\displaystyle (C,x)}$ , wobei ${\displaystyle C}$  Objekt aus ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  ist und ${\displaystyle x\in F(C)}$  ein Element der Menge,
• Morphismen ${\displaystyle f\colon (C,x)\rightarrow (C',x')}$ : Morphismen ${\displaystyle f\colon C\rightarrow C'}$ , die ${\displaystyle F(f)(x')=x}$  erfüllen,

die Kategorie der Elemente zu ${\displaystyle F}$ , wobei die Komposition der Morphismen diejenige aus ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  ist. Diese Kategorie wird ebenfalls mit ${\displaystyle \textstyle \int F}$  oder ${\displaystyle \textstyle \int _{\mathcal {C}}F}$  bezeichnet.^[1]

• Für obige Definitionen ist natürlich noch zu beweisen, dass es sich tatsächlich um eine Kategorie handelt. Dazu prüft man ohne Mühe, dass die identischen Morphismen ${\displaystyle 1_{C}}$  aus ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  auch identische Morphismen in ${\displaystyle \textstyle \int F}$  sind, und dass die ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ -Komposition zweier Morphismen aus ${\displaystyle \textstyle \int F}$  wieder ein Morphismus in ${\displaystyle \textstyle \int F}$  ist.
• Die Definition für kontravariante Funktoren ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {Set}}}$  lässt sich alternativ auf die Definition für kovariante Funktoren mittels der Formel ${\displaystyle \textstyle \int _{\mathcal {C}}F\colon =(\int _{{\mathcal {C}}^{op}}F)^{op}}$  zurückführen, denn ${\displaystyle F}$  ist ein kovarianter Funktor ${\displaystyle \colon {\mathcal {C}}^{op}\rightarrow {\mathcal {Set}}}$ .

• Das einfachste Beispiel erhält man, wenn die Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  gleich ${\displaystyle {\mathcal {Set}}}$  und der Funktor ${\displaystyle F}$  die Identität ${\displaystyle I:{\mathcal {Set}}\rightarrow {\mathcal {Set}}}$  ist. Die Kategorie der Elemente ${\displaystyle \textstyle \int I}$  besteht dann aus Paaren ${\displaystyle (C,c)}$  aus einer Menge ${\displaystyle C}$  und einem darin enthaltenen Punkt ${\displaystyle c\in C}$ . Die Morphismen zwischen ${\displaystyle (C,c)}$  und ${\displaystyle (C',c')}$  sind Abbildungen ${\displaystyle f:C\rightarrow C'}$ , die den ausgewählten Punkt erhalten, für die also ${\displaystyle f(c)=c'}$  gilt. ${\displaystyle \textstyle \int I}$  ist also nichts anderes als die Kategorie der Mengen mit ausgezeichnetem Punkt.
• Sei ${\displaystyle C}$  ein Objekt der Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  und ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(C,-)\colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {Set}}}$  der zugehörige kovariante Hom-Funktor. Ein Objekt aus der Kategorie der Elemente ist definitionsgemäß ein Paar ${\displaystyle (D,f)}$  mit ${\displaystyle f\in \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(C,D)}$  und ein Morphismus ${\displaystyle (D_{1},f_{1})\rightarrow (D_{2},f_{2})}$  ist ein ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ -Morphismus ${\displaystyle h\colon D_{1}\rightarrow D_{2}}$  mit ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(C,h)(f_{1})=f_{2}}$ . Da die Komponente ${\displaystyle D}$  des Paares ${\displaystyle (D,f)}$  als Zielobjekt von ${\displaystyle f}$  schon eindeutig bestimmt ist, bedeutet der vorangegangene Satz: ein Objekt in ${\displaystyle \textstyle \int _{\mathcal {C}}\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(C,-)}$  ist ein Morphismus ${\displaystyle f\in \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(C,D)}$  und ein Morphismus ist ein ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ -Morphismus ${\displaystyle h\colon D_{1}\rightarrow D_{2}}$  mit ${\displaystyle h\circ f_{1}=f_{2}}$ . Diese Kategorie ist daher isomorph zur Kommakategorie ${\displaystyle C\downarrow {\mathcal {C}}}$ :

${\displaystyle \int _{\mathcal {C}}\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(C,-)\cong C\downarrow {\mathcal {C}}}$     und dual dazu    ${\displaystyle \int _{\mathcal {C}}\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(-,C)\cong {\mathcal {C}}\downarrow C}$ .

• Jede Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  ist isomorph zu einer geeigneten Kategorie der Elemente, denn ist ${\displaystyle 1\colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {Set}}}$  der konstante Funktor mit Wert ${\displaystyle \{0\}}$ , der also jedes Objekt auf die Einermenge ${\displaystyle \{0\}}$  und jeden Morphismus auf die Identität ${\displaystyle \{0\}\rightarrow \{0\}}$  abbildet, so ist offenbar ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {C}}\cong \int _{\mathcal {C}}1}$ .

Die Daten ${\displaystyle (C,x)}$  eines Objektes aus ${\displaystyle \textstyle \int F}$  definieren nach dem Lemma von Yoneda eine eindeutig bestimmte natürliche Transformation des Hom-Funktors ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(C,-)}$  nach ${\displaystyle F}$ , denn nach diesem Lemma gibt es eine Bijektion zwischen den natürlichen Transformationen ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(C,-)\rightarrow F}$  und der Menge ${\displaystyle F(C)}$ . Daher besteht eine enge Beziehung zur Darstellbarkeit von Funktoren, es gilt:^[3]

• Ein kovarianter Funktor ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {Set}}}$  ist genau dann darstellbar, wenn ${\displaystyle \textstyle \int _{\mathcal {C}}F}$  ein Anfangsobjekt hat.

• Ein kontravarianter Funktor ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {Set}}}$  ist genau dann darstellbar, wenn ${\displaystyle \textstyle \int _{\mathcal {C}}F}$  ein Endobjekt hat.

Sei ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  eine Kategorie und ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {Set}}}$  ein Funktor. Weiter sei ${\displaystyle {\mathcal {Set}}_{*}}$  die Kategorie der Mengen mit ausgezeichnetem Punkt. Dann haben wir weitere Funktoren:

• ${\displaystyle \textstyle V\colon \int _{\mathcal {C}}F\rightarrow {\mathcal {C}}}$ , der Objekte ${\displaystyle (C,x)}$  auf ${\displaystyle C}$  abbildet und auf Morphismen die Identität ist.
• ${\displaystyle \textstyle Q\colon \int _{\mathcal {C}}F\rightarrow {\mathcal {Set}}_{*}}$ , der Objekte ${\displaystyle (C,x)}$  auf ${\displaystyle (F(C),x)}$ , die Menge ${\displaystyle F(C)}$  mit dem ausgezeichneten Punkt ${\displaystyle x}$ , abbildet und Morphismen ${\displaystyle f}$  auf ${\displaystyle F(f)}$ . Die Definitionen sind gerade so angelegt, dass ${\displaystyle F(f)}$  die ausgezeichneten Punkte erhält.
• ${\displaystyle U\colon {\mathcal {Set}}_{*}\rightarrow {\mathcal {Set}}}$ , den Vergissfunktor, der den ausgezeichneten Punkt vergisst.

Dann ist das Teilquadrat unten rechts des nebenstehenden Diagramms ein Pullback in der „Kategorie aller Kategorien“.^[4] Die hier auftretenden mengentheoretischen Probleme (eine nicht-kleine Kategorie ist keine Menge und kann daher nicht Element einer Klasse sein) werden durch das Ausformulieren der Pullback-Bedingung aufgelöst: Es gilt ${\displaystyle U\circ Q=F\circ V}$  und ist ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$  eine weitere Kategorie mit Funktoren ${\displaystyle Q'\colon {\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {Set}}_{*}}$  und ${\displaystyle V'\colon {\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$  und ${\displaystyle U\circ Q'=F\circ V'}$ , so gibt es genau einen Funktor ${\displaystyle \textstyle A\colon {\mathcal {D}}\rightarrow \int _{\mathcal {C}}F}$  mit ${\displaystyle Q\circ A=Q'}$  und ${\displaystyle V\circ A=V'}$ .

Sei ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  eine kleine Kategorie und ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {Set}}}$  ein kontravarianter Funktor, das heißt eine Prägarbe auf ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ . Den oben eingeführten Funktor ${\displaystyle \textstyle V\colon \int _{\mathcal {C}}F\rightarrow {\mathcal {C}}}$  kann man mit der Yoneda-Einbettung ${\displaystyle Y\colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {Set}}^{{\mathcal {C}}^{op}}}$  verlängern und erhält so einen kontravarianten Funktor

${\displaystyle Y\circ V\,\,\colon \,\,\int _{\mathcal {C}}F\rightarrow {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {Set}}^{{\mathcal {C}}^{op}}}$ ,

dessen Kolimes in der Funktorkategorie ${\displaystyle {\mathcal {Set}}^{{\mathcal {C}}^{op}}}$  existiert. Es besteht die natürliche Isomorphie ${\displaystyle F\cong \lim _{\rightarrow }(Y\circ V)}$ . Da Funktoren der Form ${\displaystyle Y\circ V}$  darstellbar sind, kann man diesen Sachverhalt auch so formulieren, dass Prägarben Kolimites darstellbarer Prägraben sind.^[5]

1. ↑ ^{a b} Emily Riehl: Category Theory in Context. AMS Dover Publications, 2016, ISBN 978-0-486-80903-8, Definition 2.4.1, S. 66. 
2. ↑ Martin Brandenburg: Einführung in die Kategorientheorie. Springer, 2016, ISBN 978-3-662-53520-2, Bemerkung 5.2.16, S. 111. 
3. ↑ Emily Riehl: Category Theory in Context. AMS Dover Publications, 2016, ISBN 978-0-486-80903-8, Satz 2.4.8, S. 68. 
4. ↑ Emily Riehl: Category Theory in Context. AMS Dover Publications, 2016, ISBN 978-0-486-80903-8, Beispiel 3.5.7, S. 102. 
5. ↑ Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk: Sheaves in Geometry and Logic. Springer, 1992, ISBN 0-387-97710-4, I.5 Satz 1 und Korallar 3.