Jacobi-Matrix

Sei ${\displaystyle f\colon U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$  eine Funktion, deren Komponentenfunktionen mit ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{m}}$  bezeichnet seien und deren partielle Ableitungen alle existieren sollen. Für einen Raumpunkt ${\displaystyle x}$  im Urbildraum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  seien ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$  die jeweils zugehörigen Koordinaten.

Dann ist für ${\displaystyle a\in U}$  die Jacobi-Matrix im Punkt ${\displaystyle a}$  durch

${\displaystyle J_{f}(a):=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(a)\right)_{i=1,\ldots ,m;\ j=1,\ldots ,n}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(a)&{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{2}}}(a)&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(a)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(a)&{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{2}}}(a)&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(a)\end{pmatrix}}}$ 

definiert.

In den Zeilen der Jacobi-Matrix stehen also gerade die (transponierten) Gradienten der Komponentenfunktionen ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{m}}$  von ${\displaystyle f}$ .

Andere übliche Schreibweisen für die Jacobi-Matrix ${\displaystyle J_{f}(a)}$  von ${\displaystyle f}$  an der Stelle ${\displaystyle a}$  sind ${\displaystyle Df(a)}$ , ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(a)}$  und ${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial (f_{1},\ldots ,f_{m})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}(a)}$ .

Die Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}}$  sei gegeben durch

${\displaystyle f(x,y,z)={\binom {x^{2}+y^{2}+z\cdot \sin x}{z^{2}+z\cdot \sin y}}}$ 

Dann ist

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,y,z)&={\binom {2x+z\cdot \cos x}{0}}\\{\frac {\partial }{\partial y}}f(x,y,z)&={\binom {2y}{z\cdot \cos y}}\\{\frac {\partial }{\partial z}}f(x,y,z)&={\binom {\sin x}{2z+\sin y}}\end{aligned}}}$ 

und damit die Jacobi-Matrix

${\displaystyle J_{f}(x,y,z)=\left({\begin{array}{ccc}2x+z\cdot \cos x&2y&\sin x\\0&z\cdot \cos y\,&2z+\sin y\end{array}}\right)}$ 

• Ist die Funktion ${\displaystyle f\colon U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$  total differenzierbar, dann ist ihr totales Differential ${\displaystyle Df_{a}}$  an der Stelle ${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})\in U}$  die lineare Abbildung

${\displaystyle Df_{a}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},\quad Df_{a}(h)=J_{f}(a)\cdot h}$ .

Die Jacobi-Matrix an der Stelle ${\displaystyle a}$  ist also die Abbildungsmatrix von ${\displaystyle Df_{a}}$ .

• Für ${\displaystyle m=1}$  entspricht die Jacobi-Matrix dem transponierten Gradienten von ${\displaystyle f}$ . Manchmal wird der Gradient auch als Zeilenvektor definiert. In diesem Fall sind Gradient und Jacobi-Matrix gleich.

• Die Jacobi-Matrix kann, wenn man sie für eine Stelle ${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})}$  ausrechnet, zur Näherung der Funktionswerte von ${\displaystyle f}$  in der Nähe von ${\displaystyle a}$  verwendet werden:

${\displaystyle f(x)\approx f(a)+J_{f}(a)\cdot (x-a).}$ 

Diese affine Abbildung entspricht der Taylor-Approximation erster Ordnung (Linearisierung).

• Die Fortpflanzung von Messfehlern in Form einer Kovarianzmatrix geschieht durch die Jacobi-Matrix: ${\displaystyle V_{f}=J\cdot V_{x}\cdot J^{\text{T}}}$ 

Sei ${\displaystyle m=n}$ , es wird also eine differenzierbare Funktion ${\displaystyle f\colon U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$  betrachtet. Dann ist deren Jacobi-Matrix ${\displaystyle J_{f}(a)}$  am Punkt ${\displaystyle a\in U}$  eine quadratische ${\displaystyle n\times n}$ -Matrix. In diesem Fall kann man die Determinante der Jacobi-Matrix ${\displaystyle \det(J_{f}(a))}$  bestimmen. Die Determinante der Jacobi-Matrix wird Jacobi-Determinante oder Funktionaldeterminante genannt. Ist die Jacobi-Determinante im Punkt ${\displaystyle a}$  ungleich null, so ist die Funktion ${\displaystyle f}$  in einer Umgebung von ${\displaystyle a}$  invertierbar. Dies besagt der Satz von der Umkehrabbildung. Außerdem spielt die Jacobi-Determinante eine wichtige Rolle beim Transformationssatz für Integrale. Ist ${\displaystyle m\neq n}$ , so kann man definitionsgemäß keine Determinante der ${\displaystyle m\times n}$ -Jacobi-Matrix bilden. Jedoch gibt es in diesem Fall ein ähnliches Konzept. Dieses wird Gramsche Determinante genannt.

Neben Funktionen ${\displaystyle f\colon U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$  kann man auch Funktionen ${\displaystyle h\colon V\subset \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{m}}$  auf (komplexe) Differenzierbarkeit untersuchen. Funktionen, die komplex differenzierbar sind, werden holomorph genannt, denn sie haben andere Eigenschaften als die (reell) differenzierbaren Funktionen. Auch für die holomorphe Funktion ${\displaystyle h:=(h_{1},\ldots ,h_{m})\colon V\subset \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{m}}$  kann man Jacobi-Matrizen bestimmen. Hier gibt es zwei unterschiedliche Varianten. Zum einen eine ${\displaystyle m\times n}$  mit komplexwertigen Einträgen und zum anderen eine ${\displaystyle 2m\times 2n}$ -Matrix mit reellwertigen Einträgen. Die ${\displaystyle m\times n}$ -Jacobi-Matrix ${\displaystyle J_{h}^{\mathbb {C} }(z)}$  am Punkt ${\displaystyle z:=(z_{1},\ldots ,z_{n})\in V\subset \mathbb {C} ^{n}}$  ist durch

${\displaystyle J_{h}^{\mathbb {C} }(z):={\begin{pmatrix}{\frac {\partial h_{1}(z)}{\partial z_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial h_{1}(z)}{\partial z_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial h_{m}(z)}{\partial z_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial h_{m}(z)}{\partial z_{n}}}\end{pmatrix}}}$ 

definiert.

Jede komplexwertige Funktion kann in zwei reellwertige Funktionen aufgespalten werden. Das heißt, es existieren Funktionen ${\displaystyle u,v\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ , sodass ${\displaystyle h=u+iv}$  gilt. Die Funktionen ${\displaystyle u}$  und ${\displaystyle v}$  kann man nun wieder gewöhnlich partiell differenzieren und in einer Matrix anordnen. Seien ${\displaystyle z:=(z_{1},\ldots ,z_{n})}$  die Koordinaten in ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$  und setze ${\displaystyle z_{j}:=x_{j}+iy_{j}}$  für alle ${\displaystyle j}$ . Die ${\displaystyle 2m\times 2n}$ -Jacobi-Matrix ${\displaystyle J_{h}^{\mathbb {R} }(z)}$  der holomorphen Funktion ${\displaystyle h}$  am Punkt ${\displaystyle z\in V}$  ist dann definiert durch

${\displaystyle J_{h}^{\mathbb {R} }(z):={\begin{pmatrix}{\frac {\partial u_{1}(z)}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial u_{1}(z)}{\partial x_{n}}}&{\frac {\partial u_{1}(z)}{\partial y_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial u_{1}(z)}{\partial y_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial u_{m}(z)}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial u_{m}(z)}{\partial x_{n}}}&{\frac {\partial u_{m}(z)}{\partial y_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial u_{m}(z)}{\partial y_{n}}}\\{\frac {\partial v_{1}(z)}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial v_{1}(z)}{\partial x_{n}}}&{\frac {\partial v_{1}(z)}{\partial y_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial v_{1}(z)}{\partial y_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial v_{m}(z)}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial v_{m}(z)}{\partial x_{n}}}&{\frac {\partial v_{m}(z)}{\partial y_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial v_{m}(z)}{\partial y_{n}}}\end{pmatrix}}}$ .

Gilt bei den Jacobi-Matrizen für holomorphe Funktionen ${\displaystyle m=n}$ , so kann man natürlich die Determinanten der beiden Matrizen betrachten. Diese beiden Determinanten stehen in Beziehung zueinander. Es gilt nämlich

${\displaystyle \det \left(J_{h}^{\mathbb {R} }(z)\right)=\left|\det(J_{h}^{\mathbb {C} }(z))\right|^{2}}$ .

• Mehrdimensionale Kettenregel
• Hesse-Matrix
• Gradient (Mathematik)

• Konrad Königsberger: Analysis 2. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8. (für Jacobi-Matrizen reeller Funktionen).
• Klaus Fritzsche, Hans Grauert: From Holomorphic Functions to Complex Manifolds. Springer-Verlag, ISBN 0-387-95395-7. (S. 30–31; für Jacobi-Matrizen holomorpher Funktionen).