Heisenberg-Algebra

Die Heisenberg-Algebra ist eine 3-dimensionale, reelle Lie-Algebra mit den Erzeugern $P,Q,R$ , für die gilt

[P,Q]=R

[P,R]=[Q,R]=0

Sie ist die Lie-Algebra der Heisenberg-Gruppe.

Darstellung

Man kann die Heisenberg-Algebra als Algebra von Matrizen darstellen, indem man definiert

P={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}},\quad Q={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\\\end{pmatrix}},\quad R={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}

und als Lie-Klammer den Kommutator von Matrizen $[X,Y]=XY-YX$ verwendet.

Verallgemeinerung

Entsprechend den verallgemeinerten Heisenberg-Gruppen gibt es auch verallgemeinerte Heisenberg-Algebren, die Lie-Algebren der verallgemeinerten Heisenberg-Gruppen.