Erlang-Verteilung

Die Erlang-Verteilung ${\displaystyle \operatorname {Erl} (\lambda ,n)}$  mit den Parametern ${\displaystyle \lambda >0}$  (einer positiven reellen Zahl) und ${\displaystyle n\geq 1}$  (einer natürlichen Zahl) ist eine spezielle Gammaverteilung, die durch die Dichtefunktion

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {\lambda ^{n}x^{n-1}}{(n-1)!}}\,\mathrm {e} ^{-\lambda x}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}$ 

festgelegt wird, und die sich von der allgemeinen Gammaverteilung durch die Beschränkung auf natürliche Zahlen im zweiten Parameter unterscheidet.

Für eine Erlang-verteilte Zufallsvariable ${\displaystyle X}$  ist die Wahrscheinlichkeit, dass ${\displaystyle X}$  innerhalb des Intervalls ${\displaystyle 0\leq X\leq x}$  liegt, durch die Verteilungsfunktion

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {\lambda ^{n}}{(n-1)!}}\int _{0}^{x}t^{n-1}\mathrm {e} ^{-\lambda t}\,\mathrm {d} t={\frac {\gamma (n,\lambda x)}{(n-1)!}}=1-{\frac {\Gamma (n,\lambda x)}{(n-1)!}}=1-\mathrm {e} ^{-\lambda x}\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {(\lambda x)^{i}}{i!}}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}$ 

gegeben, wobei ${\displaystyle \gamma }$  bzw. ${\displaystyle \Gamma }$  die unvollständige Gammafunktion bezeichnet.

Die Erlang-Verteilung kann interpretiert werden als die Wahrscheinlichkeitsdichte, nach einer Zeit ${\displaystyle t}$  das ${\displaystyle n}$ -te Ereignis zu erhalten. Dabei seien die Ereignisse poissonverteilt.

Betrachten wir die Wahrscheinlichkeit, dass das ${\displaystyle n}$ -te Ereignis im Zeitintervall ${\displaystyle [t,t+\Delta t]}$  ist. Dies ist offensichtlich die Wahrscheinlichkeit, dass ${\displaystyle n-1}$  Ereignisse im Intervall ${\displaystyle [0,t]}$  sind, multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit, dass genau ein Ereignis in ${\displaystyle [t,t+\Delta t]}$  ist. Da die Ereignisse poissonverteilt und unabhängig in disjunkten Intervallen sind, ist dies:

${\displaystyle {\frac {(\lambda \cdot t)^{n-1}}{(n-1)!}}\mathrm {e} ^{-\lambda \cdot t}\cdot \lambda \cdot \Delta t\cdot \mathrm {e} ^{-\lambda \cdot \Delta t}}$ .

Dies ist in erster Ordnung ${\displaystyle \Delta t}$ :

${\displaystyle \lambda \cdot {\frac {(\lambda \cdot t)^{n-1}}{(n-1)!}}\mathrm {e} ^{-\lambda \cdot t}\cdot \Delta t}$ ,

so dass sich die Erlang-Verteilung ergibt als:

${\displaystyle \lambda \cdot {\frac {(\lambda \cdot t)^{n-1}}{(n-1)!}}\mathrm {e} ^{-\lambda \cdot t}}$ .

Da eine Erlang-verteilte Zufallsvariable ${\displaystyle X}$  die Summe von ${\displaystyle n}$  unabhängig und identisch mit Parameter ${\displaystyle \lambda }$  exponentialverteilten Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1},\dotsc ,X_{n}}$  ist, ergeben sich die folgenden Eigenschaften.

Die Erlang-Verteilung besitzt den Erwartungswert

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\operatorname {E} \left(\sum _{k=1}^{n}X_{k}\right)=\sum _{k=1}^{n}\operatorname {E} (X_{k})={\frac {n}{\lambda }}.}$ 

Analog ergibt sich die Varianz zu

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {Var} \left(\sum _{k=1}^{n}X_{k}\right)=\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Var} (X_{k})={\frac {n}{\lambda ^{2}}}.}$ 

Der Modus, das Maximum der Dichte, liegt bei

${\displaystyle {\frac {n-1}{\lambda }}.}$ 

Aus der charakteristischen Funktion einer exponentialverteilten Zufallsvariablen erhält man die einer Erlang-verteilten Zufallsvariable:

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\left({\frac {\lambda }{\lambda -it}}\right)^{n}.}$ 

Analog ergibt sich für die momenterzeugende Funktion

${\displaystyle M_{X}(t)=\left({\frac {\lambda }{\lambda -t}}\right)^{n}.}$ 

Die Entropie der Erlang-Verteilung beträgt

${\displaystyle H(X)=(1-n)\psi (n)+\ln \left({\frac {\Gamma (n)}{\lambda }}\right)+n}$ 

wobei ψ(p) die Digamma-Funktion bezeichnet.

• Die Erlang-Verteilung ${\displaystyle \operatorname {Erl} (\lambda ,n)}$  ist eine Verallgemeinerung der Exponentialverteilung, denn sie geht für ${\displaystyle n=1}$  in diese über ${\displaystyle \operatorname {Erl} (\lambda ,1)=\operatorname {Exp} (\lambda )}$ .
• Es seien ${\displaystyle n}$  viele, alle mit dem gleichen Parameter ${\displaystyle \lambda }$  exponentialverteilte Zufallsvariablen ${\displaystyle Y_{i}\ (i=1,\dotsc ,n)}$ , die stochastisch unabhängig sind, gegeben. Dann ist die Zufallsvariable ${\displaystyle X=Y_{1}+Y_{2}+\dotsb +Y_{n}}$  Erlang-verteilt mit den Parametern ${\displaystyle n}$  und ${\displaystyle \lambda }$  ${\displaystyle (n\in \mathbb {N} ,\lambda \geq 0)}$ .

• Für einen Poisson-Prozess wird die zufällige Anzahl der Ereignisse bis zu einem definierten Zeitpunkt mittels Poisson-Verteilung ${\displaystyle \operatorname {Poi} (\lambda )}$  bestimmt, die zufällige Zeit bis zum ${\displaystyle n}$ -ten Ereignis ist Erlang-verteilt. Im Fall ${\displaystyle n=1}$  geht diese Erlang-Verteilung in eine Exponentialverteilung über, mit der die Zeit bis zum ersten zufälligen Ereignis sowie die Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ereignissen bestimmt werden kann.
• Die Erlang-Verteilung ist die zur Poisson-Verteilung konjugierte Verteilung.

Eine Erlang-Verteilung kann als Faltung von ${\displaystyle n}$  gleichmäßig stetig verteilten Funktionen ${\displaystyle X(0,1)}$  erzeugt werden:

${\displaystyle \operatorname {Erl} (\lambda ,n)\sim -{\frac {1}{\lambda }}\ln {\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)}.}$ 

Die Erlang-Verteilung mit dem Parameter ${\displaystyle \lambda }$  und ${\displaystyle n}$  Freiheitsgraden entspricht einer Gammaverteilung mit natürlichem Formparameter ${\displaystyle p=n}$  (und inversem Skalenparameter ${\displaystyle b=\lambda }$ ).

• Klaus Heinz: Mathematisch-statistische Untersuchungen über die Erlang-Verteilung. Springer, Wiesbaden 1969, ISBN 978-3-663-06379-7.

• Erlangverteilungen: Erklärung und Darstellung von Zusammenhängen zu anderen Verteilungen

1. ↑ Frodesen, Skjeggestad, Tofte: Probability and Statistics in Particle Physics, Universitetsforlaget, Bergen Oslo Tromsø S. 98.